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1、第 30 练 双曲线的渐近线和离心问题题型分析高考展望双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也 是高考热点，其性质是考查 的重点，尤其是离心与渐近线 .考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般 为中等难 .熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型析题型一 双曲线的渐近线问题x2 y21(1)(2015重庆)设双曲线占一b2 = l(a0，b0)的右焦点是F，左，右顶点分别是人，A2，过F作A&的垂线与双曲线交于B 5 C两点 AB丄A2C 则该双曲线的渐近线的斜为(2)(2014,江西)如图已知双曲线C :二一y2=l(a0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条 a2过C
2、上一点P(x0，y0)(y0Z0)的直线1 ：等-y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=|相交于点N.证明：当点P在C上移动时，霜恒为定值并求此定值.b x yX2 y2点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简求法.由y=axb=0g-b2=所x2 y2以可以把标准方程込一b；=1(a0 b0)中的“1用“0替换即可得出渐近线方程(2)已知双曲线渐近线b方程：y= x 可设双ax2 y2线方程为b =入(入北0)求出入即得双a2 b2曲线方程.x2 y2x2变式训练1 (2014山东改编)已知ab0，椭圆C 的方 程为-+仁=1，双曲线C2的方程为1a2 b22a2y23_b2= 1，
3、C1与C2的离心 之积为2 ，则C2的渐近线方程为.题型二 双曲线的离心问题2 (1)(2015湖改编 )将离心为ei的双曲线q的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0) 个单位长，得到离心为e2的双曲线C2,则下命题正确的是 . 对任意的 a， b， e e ； 当 ab 时，eie2 ;当 ab 时，eie2 ; 对任意的 a， b， e1b 时，eie2 ;当 ae2.x2 y2(2) 已知O为坐标原点，双曲线石一豆=1(a0，b0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，(AO+AF)OF=0 则双曲线的离心 e为.点评 在研究双曲线的性质时，实半
4、轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要c内容双曲线的离心涉及的也比较多.由于e=匚是一个比值，故只需根据条件得到关于a、a需注意e1.同时注意双曲b、c的一个关系式，用b2=c2a2消去b，然后变形求e，并且线方程中 x， y 的范围问题.x2 y2变式训练2(2014湖南)如图，0为坐标原点，椭圆q ：茲+豆x2 1(ab0)的左、右焦点分别为F、F2，离心为e ；双曲线C2 :1 2 1 2 a2 b2=1的左、右焦点分别为F3迟，离心为 e2.已知e1e2= ， 且 F2F4= 1.(1) 求 C1，C2 的方程；(2)过F作q的垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与
5、C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.题型三 双曲线的渐近线与离心的综合问题x2 y23（2014建 ）已知双曲线E ：b2=l（a0，b0）的两条渐近线分别为 11 : y=2x，l2 : y=2x.（1）求双曲线E的离心；（2）如图，0为坐标原点，动直线l分别交直线l，12于A，B两点（A，B 分别在第一、四象限），且AOAB的面积恒为&试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E ?存在，求出双曲线E的方程；存在，请说明由点评 解决此类问题:一是用离心公式，渐近线方程，斜关系等方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.X2 y2变式训练3（20
6、14浙江）设直线x3y+m=0（m0）与双曲线云一b2=1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点A，B.点P（m,0）满足PA=PB，则该双曲线的离心是 .高考题型练1.（2015课标全国I改编）已知M（xo，y0）是双曲线C : 2y2= 1上的一点，F1，F2是C的两个焦点 毗仰20 则y0的取值范围是x2y2y2ny2.(2015镇江模拟)已知030 b0）的两条渐近线均和圆C : X2 + y2 6x+5 = 0相且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为X2y2X2 y24以椭圆而+144=1的右焦点为圆心且与双曲线916=1的渐近线相的圆的方程是x25已知双曲七一b2=1(a0
7、 b0)以及y2 X2曲线02豆二1的渐近线将第一象限三等分则双X2 y2曲线a2的离心为x2 y26. （2015镇江模拟）已知双曲线C：/盒=1 （a0，b0）的左，右焦点分别为F】，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心为 .X2 y27. 已知抛物线y2=8x的准线过双曲线a2b2=l（a，b0）的一个焦点，且双曲线的离心为 2 ，则该双曲线的方程为 .&已知双曲线C的中心在原点且左，右焦点分别为F，F2，以卩巴为底边作正三角形双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心为 .x2 y29. 已知F，F2分别是
8、双曲线b2=1 （a0，b0）的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，点 M在以线段FF2为直径的圆外，则双曲 线离心的取值范围是 .x2 y2110. 过双曲线云b2=1 （a0，b0）的左焦点F作圆X2+y2=a2的线，点为 E，直线EF交双曲线右支于点P，oE=2（OF+OOP），则双曲线的离心是 .y2 x211. 已知双曲线占石=1 （a0，b0）的一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距 一2躬离为5 -（1）求此双曲线的方程；（2）设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，AP=pB，求aob 的面积
9、.x2 y212. （2015盐城模拟）已知双曲线占一話=1 （a0，b0）的右焦点为F（c,0）.（1）双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；（2）以原点0为圆心，为半径作圆该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的线，斜为一 3，求双曲线的离心.答案析第 30 练 双曲线的渐近线和离心问题常考题型典剖析1 (1)1x2 y2解析 双曲线jb2=1的右焦点 F(c,0)，左，右顶点分别为A(a，0)，A2(a，0)，求B(c，好,C(c，-D，则b2b2aakAC=，kAB=2 ac1 a+ cA1B与A2C垂直b2ab2一 a则有 kABkAC= 1，即= 1 ，则有
10、12a+c acb4a2 =1 ,c2 a2Z.a2=b2，即 a=b，.渐近线斜.b k=a=L(2)解 设 F(c, 0)，因为 b= 1，所以 c=ja2 +1 ， 直线OB的方程为y= x，a直线BF的方程为y=g(xc)，a解得B(2，-金) 又直线OA的方程为y=gx，a2a_3c=a.c2cc a 则A(c，a)，kAB=- 又因为AB丄OB，x2解得a2=3， 故双曲线C的方程为y2=1.由知a=*J3，则直线l的方程为xx,、xx33yoy=i(yo0)，即=芯0因为直线AF的方程为x=2，所以直线 l 与 AF 的交点为M(2，33直线l与直线x=2的交点为n(2，3於0-
11、3 可).x0R 2则,MF2=xo 3 2则NF239yi 91 2xo-3 2 亍+4 xo2 24 +3% 2=4.xo 3 23 麴 + 3 % 2 2* 因为P(xo，yo)是C上一点，刚着一撓=1，MF2 49x 2代入上式得NF2=3&o3 +xo2=4.xo3 2 =4 ,3 4x2 12xo + 9 3 MF 2即所求定值为丽=勇变式训练1 x+2y=o解析由题意知e1=善，e2= g2， e.e =2=医=3 1 2 a aa22 .又 Va2=b2 + cf，C2=a2+b2， c21= a2 b2，C2C2a4b4b a4 =a4 = 1 (a) ，1()=3b边 解得
12、a=t， b=边 a= 2 .X2 y2b2=o，解得 bxay=o，.xSy=o.2 (1)迈解析(1)由题意 e1a2+b2a2b ；双曲线C2的实半轴长为a+m 虚半轴长为bm，离心e2a+m 2+ b+m 2b+ma+mJ2.a+m 2b+m b m ab,因为 a+ma=aa+m ，且a0，b0，m0，a#b，所以当ab时，肛40，即皿b 所一 时 a a+ma+ma.3o，b0，又 a+ m0， a0，(b+m) (b)(b+m)(b)所以由 等式的性质依次可得2 a丿21 +丿21 + a丿2，所以b+m、a+m|21 + m ab2, 即 1；同，当ab 时，+0，可推得e2b
13、 时，e1e2 ;当 ae2.(2)如图，设OF的中点为T，由(A0+)0=0可知AT丄OF，又A在以OF为直径的圆上，疋，u，又A在直线y=bx上，/.a=b，.e=i：2.，即 a4b4=|a4，因此 a2 = 2b2，从而 F2(b,0)，F4(V3b,0)，于是/3bb=F2F4=V3 1，所以 b=1，a2 = 2.变式训练 2 解 (1)因为X2X2故q，C2的方程分别为为2+y2=1，2y2=1.(2) 因 AB垂直于y 轴，且过点 F1( 1,0) ，故可设直线AB的方程为x=my 1.知此方程的判别式大于 0.设 A（x1 ， y1） ， B（x2 ，y2） ， 则 y1，y2 是上述方程的两个实根，2m 1所以人+y2=m，yiy2=m2-因此xi+%2=山（片+2）2=总，2 m于是AB的中点为M（石2,石2），“m “m故直线PQ的斜为一
