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1、线性代数复习资料课程代号： 02198线性代数复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算；N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变
2、换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用nA2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。(1) 它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；(2) 展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算一阶| a |= o行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N 阶( n=3 )行列式的计算：降阶法定理： n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行(列)，保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情
3、况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；(2) 行列式值为 0 的几种情况：I 行列式某行(列)元素全为0；n 行列式某行(列)的对应元素相同；川行列式某行(列)的元素对应成比例；IV 奇数阶的反对称行列式。二矩阵1 .矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等)； 2矩阵的运算( 1 )加减、数乘、乘法运算的条件、结果；( 2)关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律(若AB= BA，称A、B是可交换矩阵)； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若 A、 B 为同阶方阵，则 |AB|=|A|*|B|； |kA|=ie n|A|3
4、.矩阵的秩( 1 )定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；( 2)秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列， 从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵)。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4 .逆矩阵(1) 定义：A、B为n阶方阵，若AB = BA= I，称A可逆，B是A的逆矩阵(满足半边也成立)；(2) 性质：(AB)A-1=(BA-1)*(AA-1), (Ay-仁(AX)； (A B 的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)( 3)可逆的条件： |A| 工0;r(A)=n; A-l;(4)逆的求解伴随矩阵
5、法AA-1=(1/|A|)A*; (A* A的伴随矩阵) 初等变换法(A:l )-(施行初等变换)(I:AA-1 )5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，贝U X= (AA-1 ) B;XB=A，贝U X=B(AA-1);AXB=C，贝U X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1 线性方程组解的判定 定理：(1) r(A,b) 丰 r无解；(2) r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3) r(A,b)=r(A)n有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组 AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)n 有非零解；再特别，若为方阵，(1) |A|工0只有零解(2) |A|=0有非零解
6、2齐次线性方程组( 1 )解的情况：r(A)=n ,(或系数行列式 DM0)只有零解；r(A)2线性表示(D)以上说法都不对n(A) 3 an- 1(B) 3a(C)n n- 13 an(D) 3aa11a12a13ai2a11a13010、100)4、设 A=a21a22a23,B=a22a21a23,P1 =100,卩2 =0101a32a33 2 +a)2a31 +ana33 +a)3 j0012)阶方阵，且 A的行列式3、则有(|A|=a丰0, A为A的伴随矩阵，贝V | 3A* |等于(A) P2 AP1 二 B(B) R AP2 二 B(C)rp2 a = b(D) P2 R A=
7、B5、设A是正交矩阵，则下列结论错误.的是()(A) | A|2 必为 1(B) | A 必为 1(C) A1=at(D) A的行向量组是正交单位向量组6、设A是n阶方阵,且 A2 _3A 2E =0，则()(A) 1和2必是A的特征值(B)若 A = 2E,则 A 二 E(C)若 A =E,则 A =2E(D)若1不是A的特征值，则A = 2E仪1 0 7、设矩阵A= 1 2 0 ，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中E为三阶单位矩阵， A为A的伴随矩阵，则B =(A)1 ；( B) 1 ；39(C)-48、卜列命题中，错误的是1,1,打线性无关，则常数k1,川，kn必全为零(B)若川kn： n =0,且J,：、线性无关，则常数kJH,k必不全为零(C)若对任何不全为零的数K,|l,kn，都有1 III kn： n =0,则：1,ll),：n线性无关(D)若：1|, : n线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数3-11、9、设A=201，则向量J一12k1,l|l,k
