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1、精选优质文档-倾情为你奉上第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主1主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新2客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识3高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高立足课本，牢固
2、掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背2突出数学思想方法应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能3抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理4注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节角的概念与任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数
3、(正弦、余弦、正切)的定义考点梳理：1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角(3)若与是终边相同的角，则用表示为2k(kZ)2弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的弧度数在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为rad，则.(3)角度与弧度的换算nnrad； rad().(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则lr，扇形的面积为Slrr2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x
4、，tan .(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦4单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆(2)三角函数线(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)思考：1“角为锐角”是“角为第一象限角”的什么条件？【提示】充分不必要条件2终边在直线yx上的角的正弦值相等吗？【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等学情自测：1已知锐角终边上一点A的坐标是(2sin ，2cos )，则弧度数是()A2B.C.D.【解析】点A的坐标为(，1)sin ，又为锐角，.【答案
5、】C2(2012江西高考)下列函数中，与函数y定义域相同的函数为()Ay ByCyxex Dy【解析】函数y的定义域为x|x0，选项A中由sin x0xk，kZ，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中，xR，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x0，故选D.【答案】D3若sin 0且tan 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【解析】由sin 0，得在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tan 0，在第三象限【答案】C4弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_【解析】l3，135，r4，Slr346.【答案】465已知角的
6、顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.【解析】由三角函数的定义，sin ，又sin 0，y0且，解之得y8.【答案】8典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)已知是第三象限角，求所在的象限【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解(2)把写成集合的形式，从而的集合形式也确定【解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为|2k，kZ，当角的终边在第三象限时，角的集合为|2k，kZ，故所求角的集合为|2k，kZ|2k，kZ|k，kZ(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n，是第二象限角，当
7、k2n1(nZ)时，2n2n，是第四象限角，综上知，当是第三象限角时，是第二或第四象限角, 变式训练1：若角的终边与角的终边相同，则在0,2)内终边与角的终边相同的角为_【解析】2k(kZ)，k(kZ)，当k0,1,2时，.【答案】，例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角；
8、(3)利用S弓S扇S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积【解答】(1)l10(cm)(2)由已知得：l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5时，S取得最大值25，此时l10，2 rad.(3)设弓形面积为S弓由题知lcm，S弓S扇S222sin ()(cm2)变式训练2：已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解】(1)在AOB中，ABOAOB10，AOB为等边三角形因此弦AB所对的圆心角.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得lR10，S扇形RlR2.又SAOBOAOBsin
9、25.弓形的面积SS扇形SAOB50().例3（三角函数的定义）(1)已知角的终边经过点P(m，3)，且cos ，则m等于()AB.C4D4(2)已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值【思路】(1)求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解(2)在直线上设一点P(4t，3t)，求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论【解答】(1)点P到原点O距离|OP|，cos ，m4.【答案】C(2)在直线3x4y0上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r|PO|5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，t
10、an ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，当t0时，sin ，cos ，tan .当t0时，sin ，cos ，tan .变式训练3：设90180，角的终边上一点为P(x，)，且cos x，求4sin 3tan 的值【解】r，cos ，从而x，解得x0或x.90180，x0，因此x.则r2，sin ，tan .故4sin 3tan .小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点2利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧三点注意1.第一象限角
11、、锐角、小于90的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3注意熟记0360间特殊角的弧度表示，以方便解题课后作业(十六)角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3121(2013宁波模拟)如图312，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP，则点P的坐标是()A(cos ，sin )B(cos ，sin )C(sin ，cos )D(sin ，cos )【解析】设P(x，y)，由三角函数定义知sin y，cos x，故点P的坐标为(cos ，sin )【答案】A2已知2弧度的圆
12、心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2 C. D2sin 1【解析】由题设，圆弧的半径r，圆心角所对的弧长l2r.【答案】C3(2013海淀模拟)若k360，m360(k，mZ)，则角与的终边的位置关系是()A重合 B关于原点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称【解析】由题意知角与角的终边相同，角与角的终边相同，又角与角的终边关于x轴对称，故选C.【答案】C4若角的终边在直线y2x上，且sin 0，则cos 和tan 的值分别为()A.，2 B，C，2 D，2【解析】由题意知，角的终边在第二象限，在角的终边上取点P(1,2)，则r，从而cos ，tan 2，故选D.【答案】D5(2013昆明模拟)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan ()A. B. C D【解析】由题意知x0，r，cos x，x29，x3，tan .【答案】D6已知点P(sin ，cos )在角的终边上，且0,2)，则的值为()A. B. C. D.【解析】由已知得P(，)，tan 1且是第四象限角，.【答案】D二、填空题7(2013潍坊模拟)若角120的终边上有一点(4
