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1、求数列极限的一些典型方法在数学分析的学习过程中, 极限的思想和方法起着基础性的作用，极限的基 本思想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，而数列极限又是极限的 基础.涉及到数列极限的问题有很多，包括数列极限的求法、给定数列极限存在 性的证明等.数列极限的证明和求解是较为常见的一种题型，数列极限反应的是 数列变化的趋势，其证明和求解也是数学分析题中的重点，主要原因是其证法与 求法没有固定的程序可循，方法多样，技巧性强，涉及知识面较广，因此在数学 刊物上常可看到这类文章，但大多是对某一些或某一类数列极限的证明或求解， 很少系统地探索数列极限证法和求法的基本技巧和方法.随着社会的快速发展及数学
2、本身的发展 ,迫切地需要对这些方法进行归纳 . 当前,有不少文献对数列极限求解方法做了一些探讨,如文献1-10,但是方法 的应用举例较少,不全面. 在高等数学竞赛及研究生入学考试中, 数列极限求解 方法是经常出现的一种题型 . 这些都说明: 数列极限求解方法是一个重要的研 究课题. 本文作者将对有关数列极限求解的方法做比较全面系统的归纳,同时举 例进行说明.本文归纳了 17 种方法.1. 定义法-N定义：设a 为数列，a为定数，若对任给的正数,总存在正数N,使得 n当n N时，有|a - 0.ns证：当a二1时，结论显然成立.当 a 1 日寸，己a = an 1，贝Ua 0，由 a = (1n
3、 1 + na 二 1 + n(an 1)得a1 -1 0，则当n 1 = N时，就有a：-1 ，即n1an 1 即 liman -1,n T80 a 1,由上易知 lim b:二 1/. lim a:11lim bn综上，1liman -1, a 0例2.求lim nx n !解：7n 7 77 7 7.n!1 27 8 97 777 7 77 1 =n-1 n 7! n 6! n7n 0 0,3N -77 1,则当n N时，有 7n 0 77 1 0，作差 a -a，解方程| -a| f C ),则取N二f C )或nnN 二 f C)+1,(2) 将|a - a|适当放大，解出n f C
4、)；n(3) 作适当变形，找出所需N的要求。2. 利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列a 收敛的充要条件是：Vs 0,3正整数N，使得当n,m Nn时，有 |a - a 0，2 m+11 - 1111/丄 + m N 时，有 |x -x sn m由柯西收敛准则，数列x 收敛.n例4.(有界变差数列收敛定理)若数列x 满足条件nlx x + lx x+ x x I m N时，有|y 一y |n m此即 |x 一 x x 一 x + x 一 x +- x 一 x 0,n=l,2,）极限存在，并单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限M.例5.证明数列x二n求 lim x .n（1）（2）ns
5、证：由假设知x二Ja + xnn-1用数学归纳法易证：x x ,k G Nn +1 n此即证x 单调递增.n用数学归纳法可证x x，n +1n事 实上，0 x ： a + x 、: a +、； a +1 Nnnn时，有a c b，则数列c 收敛，且limc = a . n n n n n例6.求(limns 解：(1+V n 2 + n +12+ n2 + n + 2n2 + n + n 丿n2 + n + n n 0，总存在某一正数6，使得对a,b的任意分割T,以及在其上任意选取的点集佢, g eiiLx ,x 只要T6，就有 g f G) x - Ji -1 iii=1则称函数f (x)在
6、a,b上(黎曼)可积，数J为f (x)在幺,b上的定积分，记作J = J bf (x)dx .a例 7. lim (n !)1 n-n (2n川解：原式= limns(2n )!：(n + 1)(n + 2 )(2n )=limn !nnnT8nn= limnsn丿1n= exp(i (/lim In 1 + n 丿 丿V ns ni =1n(n + 1) x2(n 2 + 2n)nn(n+1)1n(n+1)lim= _ = lim2(n2 + 2n)2 2(n2 + n +1)解：因为.兀.2兀.n兀.兀.2兀.n兀.兀.2兀.n兀sm + sin+sinsm sin -sinsm + si
7、n + +sinnnn n+ n +nf1+n -1 1 n2丿I n 2丿fl + -丄 丫 I n n 2 丿由归结原则（取xnn2n - 1,n = 2,3,)lim1 + n -1AnTg n2-2 n-1-n2-n-1n2 丿f=lim 1 + xTg 由迫敛性得lim1 +1nTg n1 A n n2 丿=e注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质， 有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题 得到简化和解决.7利用施笃兹（ stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：stolz 定理2：型：若y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列x nn满足 lim i+1_= l,nTg y - yn +1n则有lim丈=l 其中l为有限数，或+ g，或-g. n Tg ynf0丿型：若y 是严格递减的趋向于零的数列，nTg时10丿n且 lim i+1_= l,nTg y - yn +1n则有limir = l 其中l为有限数，或+ g，或-g n Tg y例11.求极限limnTg1p + 2 p + + npn p +1解：令 x = 1p + 2 p
