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1、1、(丨)请你根据中的面积写出它所能说明的乘法公式(a+b) 2二a2+2ab+b2 .(II)如图(2)所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标.它是由四 个全等的如图(1)所示的直角三角形(每个直角三角形两直角边分别是a和b,斜边长为c) 与中间的小正方形拼成的一个大正方形.请你根据图(2)中的面积写出它所能说明的等式, 并写出推导过程图图图P)考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析 (1)根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；(2)先根据图(2)表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三 角形的面积加上中间小正方形的面积
2、列出等式,然后整理即可得解解答：解：(1)大正方形的面积为：(a+b) 2, 四个部分的面积的和为： a2+2ab+b2, .能说明的乘法公式是:(a+b) 2=a2+2ab+b2；(2)它能说明的等式为： c2=a2+b2推导如下：中间小正方形的边长为(b-a),大正方形的面积可表示为：c2=4xgab+ (b - a) 2,整理得，c2=2ab+b2 - 2ab+a2,即 c2=a2+b2.点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式 是解题的关键.2、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案(如图)(1) 若长方形的长为
3、a,宽为b.则小正方形面积为(a-b) 2或(a2-2ab+b2):(2) 根据图案.利用面积关系.你能得到一个等式为(a-b) 2二a2-2ab+b2 :(3) 若这个大正方形边长为16,每个长方形的面积为63,求小正方形的边长.考点：完全平方公式的几何背景。分析 (1)根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后 再减去四个长方形的面积；(2) 根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式； (3)代入等式计算求解即可解答：解：(1)小正方形的边长为：(a-b),面积为(a - b) 2,小正方形的面积二大正方形的面积-4X长方形的面积
4、二(a+b) 用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积(写出 一个符合条件的答案即可)； 用如图所示的四块矩形板材铺成如图的大正方形或如图的大矩形，中间分别空出 一个小正方形和小矩形(即图中阴影部分)； 请用含a、b的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积； 试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？ 考点：完全平方公式的几何背景。分析 (1)四块正方形，即可拼成一个大的正方形；b_4Xab二(a2-2ab+b2),.小正方形面积为:(a_b) 2或 (a2 - 2ab+b2);(2) 7小正方形的面积是同一个图形的面积，.(a- b) 2=a2- 2ab+b2；(
5、3) 小正方形的面积为:162-4X63=256- 252=4, .小正方形的边长为 2故答案为：(1) (a - b) 2 或(a2 - 2ab+b2); (2) (a - b) 2=a2 - 2ab+b2; (3) 2.点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结 果相等解答即可，难度不大.3、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm,宽为bcm 的矩形板材(如图)，另一种是边长为ccm的正方形地砖(如图)(2)根据矩形以及正方形的面积公式即可表示，然后利用两个的差与0的大小关系即可判断 大小关系解答：解：(1)能四块即
6、可拼成一个边长的2c的正方形，则面积是4c2.(2)图的面积是：(a-b) 2； 图的面积是：a (a - 2b),(a - b) 2 - a (a - 2b)二a2 - 2ab+b2 - a2+2ab二b20,则：(a-b) 2a (a - 2b). 故图的面积较大. 点评：本题主要考查了图形面积的表示，比较两个式子的大小关系可以利用求差的方法4、我们已经知道，利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性如完全平方公式可以用图 1 的面积表示(1) 根据图2写出一个代数恒等式 2a2+3ab+b2二(2a+b) (a+b):(2) 其实图形的面积也可以解释不等式的正确性.如已知正数a、b、c和m、
7、n、丨，并且满 足a+m=b+n=c+l=k.试构造边长为k的正方形，利用其来说明al+bm+cnVk2的正确性.请你画 出图形，并简单解释ba且_baab图1图2考点：完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式。 专题：几何图形问题。分析：本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面 积解答：解：(1)图2的面积为：2a2+3ab+b2二图1的面积为：(2a+b) (a+b)，可得：2a2+3ab+b2= (2a+b) (a+b).(2)根据图形al+bm+cn是图中三个矩形的面积和.而k2是正方形的面积.大小关系显而易见.a in1点评：利用几何图形推导代数恒等
8、式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系.5、(1)在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积. a2 2ab b2(a+b) 2(2) 通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：a2+2ab+b2二(a+b) 2 .(3) 利用(2)的结论计算992+198+1的值.考点：完全平方公式的几何背景。专题：几何图形问题。分析 (1)根据正方形、长方形面积公式即可解答；(2) 前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积；(3) 借助于完全平方公式解答即可解答：解：(1 ) a2、 2ab、 b2、(a+b) 2；(2) a2+2ab+b2=(a+
9、b) 2；(3) 992+198+1=(99+1 ) 2=10000故答案为： a2、 2ab、 b2、(a+b) 2；(a+b) 2点评：本题主要考查了完全平方公式及其应用，难易程度适中，注意掌握几种特殊几何图形的面积表达式张小刚同正 方 形 与 长 方 形 纸 片如图 所示的若干观察与操作：(1)他拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到: a2+2ab+b2=(a+b) 2，验证了完全平方公式；即：多项式 a2+2ab+b2 分解因式后，其结果表示 正方形的长(a+b)与宽(a+b)两个整式的积(2)当他拼成如图所示的矩形，由面积相等又得到：a2+3ab+2
10、b2= (a+2b) (a+b)，即：多 项式a2+3ab+2b2分解因式后，其结果表示矩形的长(a+2b)与宽(a+b)两个整式的积. 问题解决：(1) 请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式：a2+4ab+3b2.(画图说明，并写出其结果)(2) 试猜想面积是2a2+5ab+3b2的矩形，其长与宽分别是多少？(画图说明，并写出其结果) 考点：完全平方公式的几何背景。分析 (1)先将a2+4ab+3b2分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形.2)将 2a2+5ab+3b2 然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形解答：解：a2+4ab+3b2二(a+b) (a+3b).
11、点评：本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的 不同方法得到多项式的因式分解7、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上 还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：(2a+b) (a+b) =2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明.根据图 2 写出一个等式：(a+2b) (2a+b) =2a2+5ab+2b2 ；图2已知等式：(x+p) (x+q) =x2+ (p+q) x+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明. 考点：完全平方公式的几何背景。专题：作图题；阅读型。分析：利用长方形的面积公式即可证明.画
12、一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可.解答：解：(a+2b) (2a+b) =2a2+5ab+2b2;画出的图形如下：(答案不唯一，只要画图正确即得分) 点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式 的几何意义；主要围绕图形面积展开分析8、通常，我们把长方形和正方形统称为矩形.如图1,是一个长为2a,宽为2b的矩形ABCD, 若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为 4 块小长方形，然后按照图 2 的形状拼成一个正方形 MNPQ.(1) 分别从整体和局部的角度出发，计算图2中阴影部分的面积，可以得到等式 (a+b) 2 -(a - b) 2=4ab .(2)
13、仔细观察长方形ABCD与正方形MNPQ,可以发现它们的 周长 相同， 面积 不同.(选 填“周长”或“面积”)(3) 根据上述发现，猜想结论：用总长为 36 米的篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不同 的围法.在你围的所有矩形中，面积最大的矩形的面积是81 米2.考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。分析 (1)整体上求出内部的小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积就 是阴影部分的面积，从局部考虑，求出四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；(2) 从图 2 的面积比图 1 的面积大里面小正方形的面积考虑；(3) 根据(2)的结论，周长相等的情况下，正方形的面积比矩形的面积大
14、，所以围成的正方 形的面积最大，然后根据正方形进行计算即可解答：解：(1)整体考虑：里面小正方形的边长为a-b，阴影部分的面积二(a+b) 2-(a-b) 2，局部考虑：阴影部分的面积=4ab，(a+b) 2-(a- b) 2=4ab；(2)图 1 周长为： 2(2a+2b) =4a+4b， 面积为： 4ab，图 2 周长为： 4(a+b) =4a+4b，面积为(a+b) 2=4ab+ (a - b) 2$4ab， 当且仅当 a=b 时取等号；周长相同，面积不相同；(3) 根据(2)的结论，围成正方形时面积最大，此时，边长为36一4二9米，面积=92=81 米 2故答案为：(1) (a+b)
15、2-(a-b) 2=4ab; (2)周长，面积；(3) 81.点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，结合图形的特点，根据面积找出里面的规律是解 题的关键.9、如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图 2 的形状拼成一个正方形.1)你认为图 2 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2) 请用两种不同的方法求图 14中阴影部分的面积.方法 1:(m+n) 2 - 4mn方法 2：(m - n) 2(3) 观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n) 2，(m-n) 2，mn.(m+n) 2二(m-n) 2+4mn(4) 根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则(a-b) 2= 29 . 考点：完全平方公式的几何背景。专题：图表型。分
