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1、高考地位】反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经 常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求 证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从 而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛 盾，与假设矛盾，自相矛盾等.【方法点评】类型一 证明“至多”或“至少”问题使用情景：证明“至多”或“至少”问题.解题模板：第一步首先假设命题不成立；第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步 最后得出结论.
2、1 + x1 + y例1. 若x, y e 正整数，且x + y 2。求证： 2或 2中至少有一个成立。yx【变式演练1】若下列方程：x2 +4ax4a+3 = 0, x2 + （al）x+a2 =0, x2 +2ax 2a=0至少有一个方程有实根。则实数a的取值范围为。类型二 证明“不可能”问题使用情景：证明“不可能”问题解题模板：第一步首先假设命题不成立；第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾;第三步最后得出结论.例2.给定实数a a丰0，且a丰1，设函数y =仝二1 （x g R，且x丰-），求证：经过这个函数图象上任意两个 ax -1a不同的点的直线不平行于x轴.网霽演练2】如图，设SA
3、、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证: AC 与平面 SOB 不垂直。类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题解题模板：第一步首先假设命题不成立；第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾;第三步最后得出结论.例 3.求证：方程 5x=12的解是唯一的.【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设.否定“自然数a,b,c中恰 有一个偶数”时正确的假设为（）A. 自然数a,b, c都是奇数B. 自然数a,b,c都是偶数C. 自然数a,b,c中至少有两个偶数D. 自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数高考再现】
4、1. 【2016 高考山东文数】观察下列等式：(sin 3)-2 + (si碍)一2 二n2n3n4n 4(sin 5)亠 +(sinT)亠+(血 了)亠+(sinT)亠二 332 2 3 ；(sin n)-2 + (sin 2n)-2 + (sin3n)-2 + + (sin6n)-2 二777733334；(sin 9)-2+(sin 普)-2+(血罟)-2+(sin 罟)4-2 二 3 4 3 5照此规律，(sin 缶)-2+(sin 吕)-2+(sin 2n+r)-2+-+ (sin 芻)-2 二2.【2015高考广东，理8】若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A.
5、大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于33.【2014山东.理4】用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x2 + ax + b = 0至少有一个实根”时，要 做的假设是（ ）A.方程x2 + ax + b = 0没有实根B.方程x2 + ax + b = 0至多有一个实根C.方程x2 + ax + b = 0至多有两个实根D.方程x2 + ax + b = 0恰好有两个实根4.【2015高考北京，理20】已知数列a 满足：a e N*,n1I 2a , a W18， a W 36，且 a = 18nn(n = 1，2，).记集合M = an| n e N*.（I）若a = 6，写出集合M
6、的所有元素;1（II）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数;（III）求集合M的元素个数的最大值.【反馈练习】1. 【2015-2016学年陕西延川县中学高二下学期期末数学（文）试卷】用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）A. 有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C. 至少有两个内角是钝角D. 没有一个内角是钝角2. 【2016-2017学年江西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷】用反证法证明命题“设f （x）二x3 + 3丨x-a l（a g R）为实数，则方程f （x） = 0至少有一个实根”时，要做 的假设是（ ）A. 方程f （x）没
7、有实根B. 方程f （x） = 0至多有一个实根C. 方程f （x） = 0至多有两个实根D. 方程f （x） = 0恰好有两个实根3. 【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】在用反证法证明命题“已知a、b、c g（0,2），求证a（2b）、b（2-c）、c（2 a）不可能都大于1”时， 反证时假设正确的是（ ）A. 假设a（2 b）、b（2 c）、c（2 a）都小于 1B. 假设a（2 b）、b（2 c）、c（2 a）都大于 1C. 假设a（2 b）、b（2 c）、c（2 a）都不大于 1D.以上都不对4【2015-2016学年山东枣庄三中高二6月调查数学(理)试卷】
8、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度5【2015-2016学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学(文)试卷】用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a, b, c中恰有一个偶数”正确的反设为A. a，b，c中至少有两个偶数B. a, b, c中至少有两个偶数或都是奇数C. a, b, c都是奇数D. a, b, c都是偶数6.【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】已知二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a 0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f (c) = 0,且0 x 0 .(1) 证明：一是f (x) = 0的一个根；a1(2) 试比较一与c的大小；a(3) 证明：2 b 2；2 + :5(2) 已知a 0,b 0,且a + b 2,求证:和上中至少有一个小于2.ab8 .【2015-2016学年江苏连云港东海县房山高级中学高二下期中文数学试卷】用反证法证明命题“三角形的3个内角中至少有2个锐角”时，假设的内容
