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1、龙文教育学科教师辅导讲义课题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式; 因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。例01.下列四个从左到右的变形，是因式分解的是()A. (x +1)(x-1) 二 x2 1B. (a一b)(m一n) = (b一a)(n一m)3C. ab一a一b +1 = (a一 1)(b一 1) D. m2一2m一3 = m(m一2一 )m二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“一”号，使
2、括号内的第一项系数为正；公因式的系数和字母应分别考虑：系数是各项系数的最大公约数；字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。例01.在下面因式分解中，正确的是()A. x2y + 5xy y = y(x2 + 5x)B. a(a b c) + b(c a + b) + c(b a + c) = (a b c)2C. x2(2 a) + x(a 2) = x(2 a)(x 1)D. 2ab2 4ab3 ab = 2ab(b2 2b2 1)例02.把8x4y + 6x3y2 2x3y分解因式的结果为。例 03.分解因式：6(x y)3 +18(y x)2 24(y x)3.说明：(1)观
3、察题目结构特征对于(x y)与(y x)的符号有下面的关系：x y = (y x),(x y )2 = (y x )2,V(x y )3 = (y x )3例 04.解方程：(12x + 6)(23x 18) + 6(1 + 2x)(13 23x) = 02m n = 3,例05.不解方程组仁c 1求：5n(2m n)2 2(n 2m)3的值.14m + 3n = 1,类型二、公式法I1、利用平方差公式因式分解：a2 -b2+ b)匚旳注意：条件：两个二次幕的差的形式；平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式; 在用公式前，应将要分解的多项式表示成a2 -b2的形式，并弄清a
4、、b分别表示什么。例如：分解因式：(1) 1 一9x2 ；(2)4a2 一 169b2 ；(3) (m + n)2 4(m n)22、利用完全平方公式因式分解： a 2 土 2ab + b 2 = (g 土 b K |注意：是关于某个字母(或式子)的二次三项式；其首尾两项是两个符号相同的平方形式 中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数)； 使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成a2 土 2ab + b2二(a 土b)公式原型，弄清a、b分别表示的量。典型例题：例1用平方差公式分解因式:(1) 9 x2 + (x y )2 ；(2) -m2 -3n23说
5、明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数 例2分解因式：(1) a5b一ab ；(2) a4(m + n) b4(m + n).说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式. 例4把下列各式分解因式：(1) 一 x 2 + 4 x 一 4 ； 42xy 49 x2 9 y 2(3) m2 一 4n 2 + 4mn说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.例5分解因式：(2) 24a2b2 6(a2 + b2)23ax 2 + 6axy + 3ay 2.说明：(1)分解因式时，首先考虑有无公因式可提
6、，当有公因式时，先提再分解 分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止例6分解因式：(2) a 4 一 8a2b2 + 16b4 ； (m 2n)2 6(2n m)(m + n) + 9(m + n)2 ； (m2 + 2m)2 + 2(m2 + 2m) +1. a4 一 14a2b3 + 49b6说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方 法，要真正理解，学会运用.例7若x2 + 2(a + 4)x + 25是完全平方式，求a的值.说明：根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b ”便可自如求解.1 1例8已知a + b二2
7、，求-a2 + ab + - b2的值.说明：将所求的代数式变形，使之成为a + b的表达式，然后整体代入求值.例 9 已知 x - y = 1，xy = 2，求 x3y 2x2y2 + xy3 的值.说明：这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式 分解，使之转化为关于xy与x - y的式子，再整体代入求值.例10证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数13 x + 2 y 二 4例11已知x和y满足方程组h- 4y二3，求代数式9x2 - 4y2的值。类型三、分组分解法
8、1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。2、原则：分组后能继续分解(即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的)。3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为：组内提公因式或运用公式；组间提公因式或运用公式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟 且灵活多变.例如：(l)am+an+bm+bn；x2-y2+2x+1.例1选择题：对2m + mp + np + 2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是()(A) (2m + 2n + np) + mp (B) (2m + np) + (2n + mp)
9、 (C) (2m + 2n) + (mp + np) (D) (2m + 2n + mp) + npI说明：本组题目用来判断分组是否适当.例2因式分解：(1) a2x + a2y + b2x + b2y ；(2)mx + mx2 一n一nx说明：(1)把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；(2) 分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；(3) 分组时要用到添括号法则，注意在添加带“一”的括号时，括号内每项要变号；例3分解因式：(1) 1 -x2 + 4xy-4y2 ；(2) x2 一a2 + 2ab一b2 ； a2 一 4b2 一 a 一 2b说明：把能应用公式的
10、各项归为一组，这是正确分组的方法之一;。例4分解因式：(2) 7 x2 3 y + xy 21x(1) 5 x3 15 x2 x + 3说明：根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。例5把下列各式分解因式：(1) xy xz y2 + 2yz z2 ； (2)a2 一b2 一c2 一2bc一2a +1 ； (3)x2 + 4xy + 4y2 2x 4y +1.说明：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有 了一定的针对性，省时提速.例6分解因式：(1) x(x 1)(x 2) 6 ；(2) ab(x2 +1) + x(a2 + b2)
11、说明：本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去 括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”类型四、关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解事实上：x2+(p+q)x+pq =x2+px+qx+pq =(x2+px) + (qx+pq) =x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).所以：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).例1分解因式： a2 5a + 6 ；(2) m2 + 3m 一 10 .(3) x2 + x 2 ；(4) x2 2x 15.(1) (a + b)2 + 5(a + b) + 4 ；(2
12、) p2 7pq + 12q2.例3分解因式: p2 + 5pq + 6q2 + p + 3q ；(2) a 2 一 4b 2 + a + 2b + 4bc 一 c 2 一 c .专题二、分式知识点一分式的概念及基本性质1.分式的概念：形如(A. B是整式，且Ei中含有字母，BO)的式子叫做分式其中，AB叫分式的分子，B叫分式的分母.2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式謔义的条件是分式的分母逝不等于零，叭斗分式沖3.分式的值为零的条件：分子等于0,分母不等于0,二者缺一不可.分式的基本性质4龙文教育教务管理部4.分式的分子与分母都乘以(或除収)同一
13、个不等于零的整式，分式的值不变.4二以册 4二恥M 用式子表示为：占占册百肛眉（其中M工0）.5.约分和最简分式（1）分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分（2）最简分式：分式的分子和分母已没有公因式，这样的分式我们称为最简分式| x | _1例1.若分式的值为零，则x的值等于.x 一 1规律总结：要使分式有意义，只要分式的分母不为零即可，与分式的分子无关；若要求分式的值何时为零，就应该 两个条件：一是分式的分子为零；二是确保分式的分母不为零.在解题时应注意检验分母的值是否为零.针对训练:1. 写出一个含有字母x的分式（要求：不论X取任何实数，该分式都有意义）知识点二分式的运算
14、1.分式加减法运算（1）分式加减法运算，先判断类型，再进行运算.I）分母相同定为同分母运算II）若分母知鸟和心4土&尸和小二即仗土疔和&土严的形式，可/心打 7M 惟总为正偶数通过仏+切=+ 及D 二-几以正奇数变形为同分母运聲iii）其余为异分母的运算.（2）分式加减法运算，通分后，都可化为同分母的运算，实质进行的分子的加减法运算，注意其中的符号和括号的 问题.（3）注意分式运算最后的结果为最简分式，分子、分母有公因式要进行约分2. 分式的混合运算先确定运算顺序，先计算乘方，再算乘除，再计算加减有括号的要先计算括号里的，最后结果要写为最简分式.一 a b、 a + b ,例2计算（：一）十 的结果为（ ） ba aD.a 一 ba + ba 一 bA.B.C.-bba思路点拨：先通分，再去括号，化除为乘，能够月份的要约分，结果要化成最简分式或整式 规律总结：分式的混合运算同分数的混合运算类似，先算乘方，再算乘除，最后加减，如有小括号，先算括号内的。 在运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配率等，运算结果必须是最简分数或整式。知识点三分式的化简求值题(1)1 1 2例3.先化简，再求值：(一)宁，其中x = l.X 2 - 2 x x 2
