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1、培优点四恒成立问题#1参变分离法例1 :已知函数af x 二 In x x2，若 f X : X 在 1,:上恒成立，则a的取值范围是【答案】a _ -1【解析】In x：x2：= xlnx_a x?二 a ax In x -x3，其中(1,宓)，x.3- 只需“(xlnxX max -2N11, 6 x令 g(x)=xl n xx , g (x )=1+1 nx3x , g (1 )=-2 , g(x)=6x=0 ,xx.g x在1,匚单调递减，.g x :g 1 ：0= g x在1,； 单调递减，g x : g-1 , a _ -1 .2 数形结合法例2：若不等式logax si n2x
2、a .0,a=1对于任意的x；-|0j, n%成立，贝U实数a的取值范围【答案】a |L,1【解析】的图像,a扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得0 - a x恒成立，求a的取值范围【答案】a _e -1【解析】f x恒成立即不等式al nx-x1 .0恒成立，令g x =al nx-x，1，.只需 g x mm -0即可，g 1 =0，g x =a _1 =兰2，令 g x i0= 土兰 0= x : a （分析 g x 的单调性）x xx当a 1时g x在1,e单调递减，则g沧：:g 1 =0（思考：为什么以a =1作为分界点讨论？因为找到 g 1=0，若要不等式成立，
3、那么一定从x =1处起g x要增（不一定在 1,e上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以a _1时导致g x在x =1处开始单减，那么一定不符合条件由此请体会零点对参数范围所起的作 用）当a 1时，分x=a是否在1,e中讨论（最小值点的选取）若1 : a : e,单调性如表所示g 1 -0g e -0=a _e T，.e1 _a ：e.X(iQ（恥）+(1 )可以比较g 1 , g e的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦.由于最小值只 会在x =1 , x =e处取得，所以让它们均大于0即可.(2)由于x=1 , x=e并不在1,e中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件)若
4、a _e，则g x在1,e上单调递增，.g x . g 1=0，符合题意，综上所述：a亠e1.对点增分集训一、选择题1.已知函数in (x+1x 兰0f x = 2，lx 3x,x 0若 f x i m 2 x 亠0 ,则实数m的取值范围是( )A.：；：-匚 1,1 B.1-2,1 1C.1.0,31D.1.3,：【答案】B【解析】若f x - mx_ 0 ,即有f x：mx，分别作出函数 f x和直线y =m 2 x的图 象，由直线与曲线相切于原点时，x2 3x 2x 3，则m 2 = 3，解得m =1,由直线绕着原点从 x轴旋转到与曲线相切，满足条件.即有0乞m 2乞3，解得-2乞m乞1
5、 故选B.2已知函数f x = _x? 2x2亠4x，当x I -3,3 时，f X：m2-14m恒成立，则实数 m的取值范围是（）A.-3,11B. 3,11C. 3,11D. 2,7【答案】C【解析】由题意可得：f x=-3x2 -4x=- x 2 3x-2 ,令f x =0可得：为-2 , x2，且：f -3 - -3 , f -2 - -8 , f i 壽，f -33，据此可知函数f x在区间1-3,3 上的最小值为 3，结合恒成立的条件可得：m2 _14m乞-0成立，贝V实数m的范围是()【答案】A【解析】若存在怡可0,2 1使得mf X0.0成立，则在 怡三0,2 .1内f x m
6、in : m即可,=SIJ-Xf2X +故f x在0,2上单调递减f X min二f 2 = de2 , . m * -ie2，故选A55&设函数 f (x )=1 nx +ax，若存在xo (0,),使f (xo )a0，贝a的取值范围是(A.B.C.-1,:D.【答案】D【解析】f x的定义域是 0,:当a _0时，x .0,贝U f x在0, ：上单调递增，且 f1=a_0.故存在x0可0川3 ：, 使 f X0户0 ；1 .当 a ：0 时，令 f x 0，解得 0 ： x ：-，令 f x : 0，解得 a单调递增，在-丄，； 上单调递减,V a丿f x ma faln -a-10，
7、解得aw丄e综上,a的取值范围是-,=：|.故选D. e 丿9.若对于任意实数 x _0，函数f x二ex ax恒大于零，则实数 a的取值范围是(A. _：:,eB. _：:, _e |C. |e,亠jD. _e,-:【答案】D【解析】.当x_0时，f x二ex ax . 0恒成立，.若x=0, a为任意实数，f x二ex ax 0恒成立，若x 0时，f x =exax 0恒成立，exexexx ex即当x 0时，a *恒成立，设 g x二-一，贝U g x 2xxx当xw 0,1时，g x .0 ,则g x在0,1上单调递增，当xGl :时，g x ：0 ,则g x在1,;上单调递减，当x
8、=1时，g x取得最大值为-e .则要使x_0时，f x=ex ax 0恒成立，a的取值范围是-e j,故选D.10.已知函数f x =a x a x a 3 , g x =22，若对任意x R，总有f x ：: 0或 g x ：0成立，则实数a的取值范围是（）A-:, -4B. -4,0C. -4,0D. -4,:【答案】B【解析】由g x =2x -2 ：:0，得x 1，故对x _1时，g x ：:0不成立，从而对任意x _1 , f x : 0恒成立，因为a xa x a 3 ：0 ,对任意x _1恒成立,如图所示，则必有a: 0a：1-a _3 ：1，计算得出-4: a ：0 .故选
9、B.11.已知函数x、ef xax ,xx0,：，当X2 .Xi时，不等式一丄空：:：o恒成立,X2XiC.则实数a的取值范围为()A. | . ,e IB. ,e【答案】D【解析】不等式UL 一丄皂.0,即灯儿ff X2 0 ,X2XiX1X2结合X2X 0可得XifXi-X2fX2：0恒成立，即X2fX2XifXi恒成立,构造函数 g(x )=xf (x )=eX -ax?，由题意可知函数 g(x )在定义域内单调递增,X故g x =ex _2ax _0恒成立，即a恒成立,2x人exeX(x1)令 h x =|- x 0，则 h x 旷, 当0 : x : 1时，h x ：0 , h x单调递减；当x 1时，h x心0 , h x单调递增;1/T则h x的最小值为h 1二旦 =e,据此可得实数a的取值范围为一：, .本题选择D选2乂1 2I2项.12. 设函数f x =ex 3x -1 -ax a，其中a 1，若有且只有一个整数x使得f x空0,则a的取值范围是()A 2 3BC 乜 JD 亠.e，4. _e，4C e，1
