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1、数学 归纳法（理）题组一证明等式问题1.某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN*，k1)时，该命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，则有 ()A当n4时，该命题成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n6时，该命题不成立解析：因为当nk(kN*，k1)时，该命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立，所以当n5时，该命题不成立，则一定有n4时，该命题不成立答案：C2已知f(n)，则 ()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1
2、项，当n2时，f(2)解析：项数为n2(n1)n2n1.答案：D3用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上 ()Ak21B(k1)2C. D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析：当nk时，等式左端12k2，当nk1时，等式左端12k2，增加了2k1项答案：D4设f(n)1(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)n(n2，nN*)证明：当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立假设nk时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)k，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1
3、)，当nk1时结论仍然成立f(1)f(2)f(n1)n(n2，nN*)题组二证明不等式问题5.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是 ()A若f(3)9成立，则当k1，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4，均有f(k)k2成立解析：由题意设f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，因此，对于A，不一定有k1,2时成立. 对于B、C显然错误对于D，f(4)
4、2542，因此对于任意的k4，有f(k)k2成立答案：D6对于不等式n1(nN*)，某同学的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立则上述证法 ()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设答案：D7(2010昆明模拟)已知数列an满足：a1，a(an12)an2an110.求证：(1)1an0；(2)a2na2n1对一切nN*都成立；(3)数列a2n1为递增数列证明：已知条件可化为(an1an)(an2)10，
5、即an1an.(1)当n1时已成立；假设当nk时结论成立，即1ak0，那么当nk1时，ak1(ak2)2.1ak22，又yt在t(1,2)内为增函数，ak2(2，)，ak1(，0)，则1ak10，当nk1时结论成立由知，对一切nN*均有1an0.(2)当n1时，a2a1成立；假设当nk(k1且kN)时结论成立，即a2ka2k1，1a2k12a2k22，a2k12a2k2，a2k1a2k，即a2ka2k1.同上法可得a2k2a2k1，当nk1时结论成立由知对一切nN*均有a2na2n1成立(3)an1an，则an2an1.两式相减得an2an.若把上式中的n换成2n1，则a2n1a2n10，数列
6、a2n1为递增数列题组三证明几何问题8.如图，这是一个正六边形的序列： (1) (2) (3)则第n个图形的边数为_解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，其边数构成等差数列，则第(n)图的边数为an6(n1)55n1.答案：5n19如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来的(n1,2,3，)，则第n2个图形中共有_个顶点解析：观察规律：第一个图形的顶点个数为323(12)2(12)；第二个图形的顶点个数为(22)2(22)424；第三个图形的顶点个数为(32)2(32)525；第n2个图形的顶点个数为(n22)2(n22)n2n.答案：n2n题组四数学归纳法的
7、综合应用10.满足122334n(n1)3n23n2的自然数n等于 ()A1B1或2C1,2,3 D1,2,3,4解析：当n1时，左端122，右端3123122，命题成立；当n2时，左端12238，右端3223228，命题成立；当n3时，左端12233420，右端33233220，命题成立；当n4时，左端1223344540，右端34234238，命题不成立答案：C11设函数f(n)(2n9)3n19，当nN*时，f(n)能被m(mN*)整除，猜想m的最大值为 ()A9 B18 C27 D36解析：由f(n1)f(n)363n1(n6)知m的最大值为36.答案：D12是否存在常数a，b，c使得
8、等式122232n(n1)2(an2bnc)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122232n(n1)2(an2bnc)中，令n1，得4(abc)令n2，得22(4a2bc)令n3，得709a3bc由解得a3，b11，c10，于是，对于n1,2,3都有122232n(n1)2(3n211n10)(*)成立下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立(1)当n1时，由上述知，(*)成立(2)假设nk(k1)时，(*)成立，即122232k(k1)2(3k211k10)，那么当nk1时，122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)，由此可知，当nk1时，(*)式也成立综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切正整数n都成立
