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1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：(1) 通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解；(2) 若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法；。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、
2、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a2 -b2 a2 -b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a2 2ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3a3+b3=(a+b)(a2 -ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 a3 -b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a3+b3+c3 -3abc=(a+b
3、+c)(a2+b2+c2 -ab-bc-ca)；例已知a, b, c 是 A ABC 的三边，且 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ,则AABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形D等腰直角三角形解： a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法(一) 分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式
4、可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有 ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。解：原式=(am + an) + (bm + bn)=a(m + n) + b(m + n)每组之间还有公因式！=(m + n)(a + b)例 2、分解因式： 2ax 一 10ay + 5by 一 bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解:原式=(2ax - 10ay) + (5by - bx)=2a (x 一 5 y) 一 b( x 一 5 y)=(x 5 y )(2a b)练习：分解因式1、 a 2 一 ab + a
5、c 一 be(二) 分组后能直接运用公式 例 3、分解因式： x 2 y 2 + ax + ay解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2ax bx) + (10ay + 5by)= x(2a 一 b) 一 5 y(2a 一 b)= (2a 一 b )( x 一 5 y )2、xy 一 x 一 y +1分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 y2) + (ax + ay)=(x + y)(x y) + a (x + y)=(x + y)(x y + a)例 4、分解因式： a 2 一 2ab +
6、 b 2 一 e 2 解：原式=(a 2 一 2ab + b 2) 一 e 2=(a b)2 e 2=(a 一 b 一 e)(a 一 b + e)4、x 2 y 2 z 2 2 yz2) ax 2 一 bx 2 + bx 一 ax + a 一 b(4)a2 一 6ab + 12b + 9b2 一 4a (6) 4a2x 4a2y b2x + b2y(8) a2 一 2a + b2 一 2b + 2ab +1 (10) (a + e)(a 一 e) + b(b 一 2a)练习：分解因式3、x2 x 9y2 3y综合练习：(1) x 3 + x 2 y xy 2 y 3(3) x 2 + 6 xy
7、 + 9 y 2 16a 2 + 8a 1(5)a4 一 2a3 + a2 一 9( 7) x 2 2 xy xz + yz + y 2(9) y(y 一 2) 一 (m 一 1)(m +1)(11)a2(b + e) + b2 (a + e) + e2 (a + b) + 2abe (12) a3 + b3 + e3 一 3abe四、十字相乘法.(一)二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 x 2 + (p + q) x + pq = (x + p)( x + q)进行分解。 特点：(1)二次项系数是 1；( 2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。 思考：十字
8、相乘有什么基本规律？例.已知OV a W5，且a为整数，若2x2 + 3x + a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求 = b2 - 4ac 0而且是一个完全平方数。于是二9 - 8a为完全平方数，a = 1例 5、分解因式： x 2 + 5 x + 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2X3=(-2)X(-3)=1 X6=(-1)X(-6)，从中可以发现只有 2X3 的分解适合，即2+3=5。12解： x2 + 5 x + 6 = x2 + (2 + 3) x + 2 x 313=(x + 2)( x
9、+ 3)1X2+1X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x 2 一 7 x + 6解：原式=x2 +(-1) + (-6)x + (1)(6)1-1=(x 1)( x 6)1-6(-1)+(-6)= -7练习5、分解因式x2 +14x + 24 a2 - 15a + 36 x2 + 4x一 5 练习6、分解因式x2 + x - 2 y2 - 2y -15 x2 -10x - 24a = a a12 c=cc1 2b=ac +a cb=1 2 2 1ax2 +bx + c=(a x +c )(a x +c )2
10、ax 2 + bx + cacaX c 122ac +a c1 2 2 1(二)二次项系数不为 1 的二次三项式 条件：( 1)( 2)( 3)分解结果： 11 211 2例7、分解因式：3x2 - 11x +10 分析：1?23-5(-6)+(-5)= -112) 3 x 2 - 7 x + 2 (4)-6y2 +11y +10解： 3x2 -11x+10=(x- 2)(3x-5)练习7、分解因式：(1) 5x2 + 7x - 6(3) 10x2 -17x+3(三) 二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： a2 -8ab -128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三
11、项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解：a 2 一 8ab -1 2 b = a 2 + 8b + (16b)a + 8b x (16b)=(a + 8b)(a 16b)练习8、分解因式x2 3xy + 2y2(2) m 2 - 6mn + 8n 2(3)a 2 - ab - 6b 2(四) 二次项系数不为 1 的齐次多项式例 10、x2 y2 3xy + 2把xy看作一个整体1-11-2例 9、2 x 2 7 xy + 6 y 21-2y2-3y_(-1)+(-2)= -3解:原式=(xy -1)(xy - 2)(2) a 2 x 2 - 6ax + 8
12、(2)12x2 11xy 15y2(4) (a + b)2 4a 4b + 3(6) m2 - 4mn + 4n2 - 3m + 6n + 2(8) 5(a + b)2 + 23(a2 b2) 10(a b)2(-3y)+(-4y)= -7y 解:原式=(x - 2y)(2x - 3y)练习9、分解因式：(1) 15x2 + 7xy 4y2综合练习 10、(1) 8x6 7x3 1(3) (x + y)2 3(x + y) 10(5) x2y2 5x2y 6x2(7) x2 + 4xy + 4y2 2x 4y 3(9) 4x2 4xy 6x + 3y + y2 10(10) 12(x + y)
13、2 +11(x2 y2) + 2(x y)2思考：分解因式： abcx 2 + (a 2 b 2 + c 2) x + abc五、换元法。(1)、换单项式例1分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到x6= (x3) 2,若把单项式x3换元，设x3= m,则x6= m2,原式变形为m2 + 14my + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例 2分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设 x2 +6= m,则 x2+4x+6= m+4x, x2+6x+6
14、= m+6x,原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2. 以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体 换元法”.比如，设x2+4x+6=m,则x2+6x+6=m+2x,原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”可以借用平方差公式简化运算对于本例，设m= 1(x2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6，贝V x2+4x+6=m-x, x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.例 3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2,常数
