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1、黑河学院学士毕业论文（设计）学士学位毕业论文设计数列收敛的判别法 所在系别：数学与应用数学系 专 业：数学与应用数学班 级：05级本科1班学生姓名：王姝萍学 号：2005561108指导教师：王宏（教授）黑 龙 江 省 黑 河 学 院 2009年 5 月 1 日II目录中文摘要-I英文摘要-II前 言-III第一章数列极限的概念-11.1 数列极限的定义-11.2 收敛数列的定义-2第二章判别数列收敛的方法-3 2.1 定义法-3 2.2 单调有界定理-6 2.3 迫敛性定理-8 2.4 柯西收敛准则-9 2.5 关于子列的重要定理-12参考文献-14致谢-15数列收敛的判别法摘要：数列收敛是
2、极限方法的基本情况，而极限方法是微积分学的基本方法，是初等数学所没有的一套崭新的方法，它解决了“直与曲”、“均匀变化与非均匀变化”、“近似于精确”的矛盾，是客观世界中由量变到质变的一种反应。数列收敛恰是这些的基础，它的概念、 性质、定理、推论为研究其它极限等数学理论研究起到铺垫作用。本篇文章重点讨论的是判别数列收敛的一些方法，对于判断一个数列是否收敛有些茫然的人，本文会有针对性的对以上问题做细致的讲解和归纳。开篇第一章的内容是对一些基础概念做了叙述，以便于对后面的定理有更好的理解。在第二章重点介绍了判别数列收敛的方法，数列收敛的判别法有很多，对于简单的数列，通过定义其极限的存在常常可以通过观察
3、直接看出，或通过极限的四则运算得出，研究数列收敛的判别法可以判断一些较复杂的极限，例如应用柯西收敛准则和迫敛性定理，它们是利用极限来研究微分学的许多理论问题时的有力工具，在近代分析中有极其重要的理论意义。关键词：数列收敛、数列极限、判别法Series convergence criterionAbstract：Series is the ultimate way to convergence of the basic situation, and the limit is the basic calculus method is not elementary mathematics a new
4、 way, it has resolved the straight and curly, uniform change and nonuniform change, close to accurate, the contradiction is the objective world from quantitative to qualitative changes in a response. Convergent series is just the foundation of the concept, nature, theorem, inference to study the oth
5、er limit, such as paving the way mathematics has played the role of theoretical research.This article key discussion is distinguished sequence restraining some methods, regarding judge a sequence whether restrains some at a loss people, this article can have pointed makes the careful explanation and
6、 the induction to above ques question.The introduction first chapter of content has made the narration to some foundation concept, was advantageous for to the behind t heorem has a better understanding.Introduced with emphasis in the second chapter the distinction sequence restraining method, the se
7、quence restraining distinction law has very much, regarding the simple sequence, through defines its limit the existence to be possible to see directly frequently through the observation, or obtains through the limit mathematical operations, the research sequence restraining distinction law may judg
8、e some complex limit, for example west the applica tion tan oak restrains the criterion and compels collects the theorem, they are study the differential calculus using the limit time many theory question powerful tool, has the extremely important theory significance in the modern analysis.Key word:
9、Sequence restraining, Sequence limit, Sequence restraining distinction way前 言数列收敛问题始终是数学分析课程入门的重要概念，本文从数列收敛的定义、性质及与数列收敛等价的一些定理命题入手进行探讨判别数列收敛的方法。当然也可以从另一个角度探讨，如用数列收敛与不收敛的关系探讨数列收敛问题，数列收敛与有界的关系等。随着知识的积累对数列收敛问题的理解将会更深刻，在函数极限、多元函数极限、级数及后继的专业理论学习中对不同的问题、不同的概念都会有研究收敛问题，在此基础上将会更深刻和更广泛的实际意义。数列收敛是极限理论的一种基本的情况
10、，一个数列存在极限也就是这个数列收敛，极限方法是微积分学的基本方法，是初等数学所没有的一套崭新的方法，它解决了“直与曲”、“均匀变化与非均匀变化”、“近似与精确”的矛盾，是客观世界中由量变到质变的一种反映。数列收敛恰是这些的基础，它的概念、 性质、定理、推论为研究其它极限等数学理论研究起到铺垫作用。数列收敛的判别法有很多，对于简单的数列，通过定义其极限的存在常常可以通过观察直接看出，或通过极限的四则运算得出，研究数列收敛的判别法可以判断一些较复杂的极限，例如柯西收敛准则和迫敛性定理，它们是利用极限来研究微分学的许多理论问题时的有力工具，在近代分析中有极其重要的理论意义。数列收敛是现代数学的重要
11、基础，例如迫敛性定理在解决求极限的中有广泛的应用，柯西收敛准则的作用与影响更是尤为显著。它的概念与思想渗透到所有的数学分支，而理论与方法在统计学、信息论、计算机科学、近代物理、化学以及其他许多科学与工程领域中都有广泛而深入的应用，是理工类和其他相关专业研究应具备的数学基础。并且在中学数学教育中有着其实际的作用，对培养学生极限抽象思想和找寻数学规律或者实际生活规律提供了很好的实践平台。第一章 数列极限的概念极限论是数学分析的基础。极限问题是数学分析中困难问题之一。中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值。两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限的存在性也被证明。反之，证明了存在性，常
12、常也就为计算极限铺平了道路。下面我们重点研究的是数列的极限，1.1数列极限的定义（= ，）的变化趋势；当无限增大时，趋于极限。现在我们要用严格的数学语言来定义极限概念。我们先来分析一个简单数列 （= ，） （1-1）很明显，当无限增大时，趋于极限0 。此数列写出来是，它趋于0的意思，就是沿此数列往后看，它与0愈来愈接近；例如，从第100项以后开始，每一项与0 的差都小于0.01；从第1000项以后开始，每一项与0的差都小于0.001；一般来说，从“充分远”的某一项开始，它的每一项与0 之差可以“任意小”。下面我们来分析一下“任意小”和“充分远”是什么意思。显然任意小的意思就是|0|=0= （1-2）其中是预先任意给定的在我们熟悉的数列中有这样一类数列，其特点是：当自然数n无限增大时，数列的通项无限地接近某一常数。例如数列等数列都具有这样的特点，当n无限增大时，它们都无限地接近于0 。我们称这样的数列为收敛的数列，并称常数0分别是数列的极限。由此引出数列极限的精确定义，在各版本的教材中也称为数列极限的定义。经过上述分析，我们给出数列极限的严格定义如下：1.1.1数列极限定义1：设为数列，为常数，若对任意给定的
