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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设
2、置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：中南民族大学参赛队员（打印并签名）：1.2. 洪晓龙3. 莫文扬指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2011_年_8月旦日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛艇问题摘要本文基本的建模思路为：首先我们假设艇速在整个赛程中保持不变，也就是可以 把赛艇在整个比赛过程中的运动近似地理想为匀速直线运动，在这种情况下赛艇 一直处于受力平衡状态，对其进行受力分析，然后运用数学和物理的相关知识和 方法，逐步推导得出赛艇速度和桨手人数的关系式为：2 F (n, p)V 2 =2bn3（其中b二kk fk2mi ,F（n,p）值不确定），然后根据
3、题目中所11 P丿、23丿），给信息分类探讨当浆手增加时，与浆手数量成比例关系的是正力还是功率的问 题，分别算出了当桨手数量跟功率成比例时和桨手数量跟正力成比例时的这两种 情况下赛艇速度与桨手人数的关系分别为：b 1t = 1 : n - 6(其中 a = Fv / “和 B = F / n且 b = kkP1我们发现两种情况下有一个共同的表达式为：t = 5 （其中1扛也,y =-1, -1）,最后利用题目附表中所给的数据，a p 96先分别算出桨手数量为1,2,4,8时前三次比赛数据的平均值，再用每组数据的平 均值做线性拟合，求得关系式为：t = 24.1359n_o.3634，发现0.3
4、634与y =-1更6为接近，更加符合第二种情况，所以我们可以近似认为与桨手数量成比例关系的 是正力，即赛艇速度与桨手数量的存在一定的数学关系式，此关系式为：1v = 103.5814n 6.关键词：桨手数量，正力， 功率，线性拟合1. 问题重述赛艇是奥运会最传统的比赛项目之一。赛艇是由一名或多名桨手坐在舟艇上, 背向舟艇前进的方向,运用其肌肉力量,通过桨和桨架简单杠杆作用进行划水,使 舟艇前进的一项水上运动。赛艇运动的推进力是断断续续的，因为运动员拉桨时， 桨叶在水里有力的作用，这时产生推进船艇前进的积极力量，这是正力。当桨叶 出水后，船艇只依靠惯性力作用，这里正力的作用消失。由于桨叶出水后
5、就没有 推进力的作用，而且由于滑座的运动和身体质量的方向转换，对船艇产生一个很 大的负力，这个负力对抗前进着的船艇，是一个消极力量。赛艇技术好与差的标 志之一，就是要限制消极力量的作用，充分利用积极力量。赛艇比赛中浆手一般有单人、双人、四人和八人等不同类型（不考虑舵手）。 浆手越多，舟艇的速度越快。请根据附表所给数据研究舟艇速度与浆手数量之间 是否存在数学关系。在建立模型的时候考虑如下情况：（1）比赛中浆手提供的总力度是固定不变的。（2）赛艇运动的推进力与速度的平方和舟艇表明浸水面积的乘积成正例。（3）功等于力与距离的乘积，功率是指单位时间所做的功。（4）当浆手增加时，与浆手数量成比例关系的是
6、正力还是功率是不明确 的。2. 问题分析 赛艇前进的阻力主要来自艇体浸没水中部分与水之间的摩擦，显然桨手多则前进 的动力就越大，但同时重量的增加也是赛艇所受的阻力在一定程度上加大了，从 而抵消部分前进的动力。 数学建模的目的就是根据题目给出的数据研究赛艇速度与桨手数量之间是否存 在一定的数学关系。关于赛艇德速度问题，我们知道在实际比赛中桨手们会在极 短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，而此段加速时间 可以忽略，所以我们假设艇速在整个赛程中保持不变，即赛艇一直做近似的匀速 运动，这种假设是合理的。3. 符号说明符号含义v艇速S艇体侵入水的面积A艇体侵入水的体积m0空赛艇的质量
7、mi每个桨手的质量f (S, v)水对赛艇的阻力n桨手人数p每个桨手的输出功率P桨手的总功率F (n, p)n个桨手提供的合力即赛艇的推进力P水的密度G _,人，艇桨手和赛艇的总重量F浮水的浮力4. 模型的假设1) 比赛中桨手提供的总力度是固定不变的，即每个桨手的输出功率 p 保持不 变；2) 赛艇运动的阻力与速度的平方和舟艇表面浸水面积的乘积成正比例，即：3) f (S, v) g Sv2，设为：f (S, v) = kSv2 ；4) 假设赛艇做的是近似匀速直线运动，即：艇速v为常数，赛艇的推进力和水 对其的阻力是相等的：F(n,p) = f (S,v)；5) 空赛艇的质量和桨手数量成正比，
8、即：m g n，设为：m = k n ；0 0 26) 只考虑水对赛艇的阻力，忽略其他阻力的作用；7) 假设每个桨手的质量相等；8) 题中所给数据完整可靠。5模型的建立5.1模型的推导过程：赛艇在比赛过程中，我们首先对其进行受力分析如图所示:F浮G人，艇F (n, p)由模型的假设：我们假设赛艇一直在作匀速运动，故赛艇一直都处于受力平衡状 态，根据阿基米德定律，赛艇在水平和竖直方向上有平衡方程：J 水平方向上：F(n,p) = f(S,v), 竖直方向上：F = G ，1浮 人，艇解上式方程组得：其中:f (S, v) = kSv 2其中：F =p gA， G= (m + nm )g浮人，艇o
9、1F (n, p) = kSv 2 pgA = (m + nm )g，0 1即为:由于赛艇的结构比例一定，取C为赛艇的某一特征尺寸，则有:S x C2, A 工 C3,从而S x A3；2不妨设：S = k A 3,则:2F (n, p) = kSv 2 = kk v 2 A 3 i由假设(5)可知：空赛艇的质量和桨手数量成正比：m = k n ；0 22代入上式，消掉m得：v2 =冬乜，(其中b = kk I k2 + mi 13)0bn 3( p 丿由于当桨手增加时，与桨手数量成正比关系的量还不是很明确，不清楚到底是正 力还是功率，故分别把两种情况算得如下：1)浆手数量成比例关系的是功率时
10、，即：p x n，设Fv = a n.考虑到题目中给的是路程l和时间t的关系，因此我们将上式改为：lv 二一tF (n, p)进而：2bn 33v21n 6所以算得：l即最后得出比赛时间与桨手人数的关系为：（其中b二kk12）浆手数量成比列关系的是正力时，即：F厌n，设F = 0 n.与1）类似的，我们可将其化为:lv 二一tF (n, p)1n 62bn 3所以在这种情况下得出比赛时间与桨手人数的关系为:t = 1n-6，（其中 b = kk0 1综合以上两种情况，归纳如下:k + m 21I P丿当Fv = an 时，t = 1 J? n-9,(其中b = kka1当F = 0n 时，t
11、= 1 ：0 n-6，(其中b = kkk + m 1I P丿23)可以观察发现通过上述两种情况的式子我们可以得出比赛时间和桨手人数的函 数解析式为：t=皿（其中九=13a,1 ；0-，y=_，f）a 0965.2模型的最终确定：题目中要求的赛艇速度与桨手数量的关系可以通过比赛时间和桨手人数的关系 求的，故我们所建立的模型的表达式即为：t=山（其中九=13：a,1 ：0，y=舟，-）a 0966. 模型的求解要求出：t = xn的表达式，其关键还是求出常数九的值,我们对表达式两边同时取对数得：Int =Y Inn + In九。我们发现lnn和lnt是线性 关系，用最小二乘法对题中数据的均值做l
12、nt，lnn的线性拟合。在数据的处理上，由于我们发现第一组数据中，比赛4的时间是26:52秒,比比赛 3 多出了 4:03 秒，比比赛 2 多出 4:31 秒，比比赛 1 多出 5:59 秒，故其离散程度 过大，应该舍弃，所以我们选择每组数据的前三组，用前三次比赛的均值来做拟 合。用MATLAB编程得出下图：得到表达式为：lnt = -0.3634lnn + 3.1837。即：t = 24.1359n -0.36347. 模型的检验我们通过比较显然-0.3634与-1更为接近，即更加符合第二种情况，所以与浆6手数量成比列关系的是正力，又因为距离l = 2500（米），故比赛时间与桨手数量的数学
13、关系为：1t = 24.1359矿 6化为赛艇速度与桨手数量的数学关系式：l丄v = 一 = 103.5814n 6t8. 模型的评价与改进8.1 模型的评价： 误差统计分析：题目提供的数据过少，不太符合实际，导致结果明显与理想结果 有一定的偏差，即误差偏大。稳定性分析：从题目中提供的数据的稳定性上看，数据基本稳定。 合理性与适用性：模型比较合理且在实际情况中适用。8.2 模型的改进： 这个模型是建立在不太精细的假设的基础上，即在近似匀速直线运动的基础上 的，故为使其更加精确，应该参考更多的数据资料，建议多测几组数据，进行线 性拟合。9. 参考文献1）西北工业大学数学建模指导委员会，数学建模简
14、明教程，高等教育出版社， 2008 年9 月；2）主编：薛毅，数学建模基础，北京工业大学出版社，2004 年 4 月；3）刘卫国，MATLAB程序设计与应用（第二版），北京：高等教育出版社，2006 年 7 月。附录 1：浆手距离比赛1比赛2比赛3比赛4比赛5比赛6数量（米）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）1250020:5322:2122:4926:522250019:1119:1720:024250016:0516:4216:4316:4716:5117:25825009:199:299:499:5110:2110:33附录 2：MATLAB的作图程序运行如下:t1=mean(20.53,22.21,22.49
