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1、用非线性电路研究混沌现象摘要：本文主要讨论了用非线性电阻产生混沌现象，运用运算放大器实现了非线性电阻，测量了非线性电阻的伏安特性曲线,研究了在不同参数下的混沌图象。最后又给出了一个用非线性电容实现混沌的实例。关键字：混沌，非线性电阻，吸引子1引言：混沌（Chaos）研究是20 世纪物理学的重大事件。混沌研究最先起源于Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程。后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象。现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技
2、术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响。混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等。目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面。本实验将借助非线性电阻电路，从实验上对这一现象进行一番探索。 2实验原理1非线性电阻：实验所用电路原理图如图1 所示。电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路。方程如下：这里，UC1、UC2是电容C1、C2上的电压，i L是电感L上的电流，G = 1/R0是电导，g 为R的伏安特性函数。如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的
3、解是正弦函数。电阻R0的作用是调节C1 和C2的位相差，把C1 和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆。如果R是非线性的，会看到什么现象呢？电路中的R 是非线性元件，它的伏安特性如图2 所示，是一个分段线性的电阻，整体呈现出非线性。gUC1是一个分段线性函数。由于g 总体是非线性函数，所以以上三元非线性方程组没有解析解。实验电路:非线性电阻是实现混沌电路的关键。该电路通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的。电路中，LC并联构成振荡电路，R0的作用是分相，使A，B两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x，y两个信号的合成图形。双运放TL082 的前级和后级正、负反馈同
4、时存在，正反馈的强弱与比值R3 /R0，R6/R0有关，负反馈的强弱与比值R2/R1，R5/R4有关。当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调节R0，正反馈就发生变化，TL082 处于振荡状态，表现出非线性，从C，D 两点看，TL082 与六个电阻等效于一个非线性电阻。元件参数如下： R1 = 3.3 k, R2 = R3 = 22 k，R4 = 2.2 k，R5 = R6 = 220 ，理论上它的伏安特性如图（2）所示。用以上电路可以测量非线性电路的伏安特性曲线，数据和绘制的伏安特性曲线如下：电压(V)电流(mA)电压(V)电流(mA)电压(V)电流(mA)电压(V)电流(mA)0.
5、2-0.1526-3.066-0.20.152-6-3.0660.4-0.3037-3.474-0.40.303-73.4740.6-0.4558-3.883-0.60.455-83.8830.8-0.6069-4.292-0.80.606-94.2921-0.75810-4.7-10.758-104.71.2-0.90911-5.109-1.20.909-115.1091.4-1.0612-5.517-1.41.06-125.5171.6-1.21213-2.181-1.61.212-132.1811.7-1.28813.2-1.265-1.71.288-13.21.2651.8-1.346
6、13.4-0.346-1.81.346-13.40.3462-1.4313.45-0.117-21.43-13.450.1172.2-1.51313.50.114-2.21.513-13.5-0.1143-1.83913.60.572-31.839-13.6-0.5724-2.24813.81.49-42.248-13.8-1.495-2.657142.411-52.657-14-2.411由此可见，第一个拐点出现在电压为1.7伏，第二个拐点出现在电压为12伏时，电压为13.5时电流近似为零。观察混沌现象的电路图为：混沌现象表现了非周期有序性，看起来似乎是无序状态，但呈现一定的统计规律，其基本
7、判据有：（1）频谱分析：R0很小时，系统只有一个稳定的状态（对应一个解），随R0的变化系统由一个稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃（两个解），即由一周期变为二周期，进而两个稳定状态分裂为四个稳定状态（四周期，四个解），八个稳定状态（八周期，八个解）直至分裂进入无穷周期，即为连续频谱，接着进入混沌，系统的状态无法确定；分岔是进入混沌的途径。（2）无穷周期后，由于产生轨道排斥，系统出现局部不稳定；（3）奇异吸引子存在 奇异吸引子有一个复杂但明确的边界，这个边界保证了在整体上的稳定，在边界内部具有无穷嵌套的自相似结构，运动是混合和随机的，它对初始条件十分敏感。具体实现方法为：将电容C1，C2上的电压
8、输入到示波器的X，Y 轴，先把R0调到最小，示波器屏上可观察到一条直线，调节R0，直线变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点。增大示波器的倍率，反向微调R0，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期倍增至四周，直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集。再细微调节R0，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节R0，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化，却突然出现了一个三
9、周期图像，再微调R0，又出现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。混沌现象的另一个特征是对于初值的敏感性。观察并记录不同倍周期时Uc1t 图和R0的值。R0=2050 R0=2016 R0=1965.5 一周期 R0=1940 二周期 R0=1935 四周期 R0=1930 八周期 R0=1920 单涡旋吸引子 R0=1860 双涡旋混沌吸引子 R0=1700 R0=1000 2 非线性电容以下为一用非线性电路实现混沌的电路：元件参数：R1 = 20k, R2 =10 k ，R3 = 10k，R4 = 10k，R5 = 11.2k，L=0.05H C1=66nF C2=1nF 分段线性电容
10、是非单调荷控特性。在本图中，电荷q与右边运算放大器的输出电压呈线性比例关系，可以取出输出电压作比例变换后得到电荷。于是可得U2-q 相图，该相图有混沌现象产生。 R/k 电路状态 R9.55 稳定平衡点 R=9.55 分岔点 8.85R9.55 周期一 8.6 R8.85周期二 8.55R8.60周期四 8.22R8.52 单涡卷混沌周期八及更高分岔 8.17R8.22周期三周期窗 7.45R8.17 单涡卷混沌 R7.45双涡卷混沌及周期窗3结论：在混沌电路的实现中，非线性元件的实现是一个关键。在本实验中，成功的实现了非线性电阻和非线性电容，并观察到了混沌现象。4参考文献1 刘孝贤K王英龙K
11、等. 低阶混沌电路非线性动力学特性的数学模型与仿真 山东科学K2001K14; 4GP529.2 郝柏林 分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它 物理学进展，19833 赵凯华 从单摆到混沌 现代物理知识，19944 郝柏林 从抛物线谈起混沌动力学引论 上海：上海科技教育出版社，19935 张连芳等 非线性电路中混沌现象的模拟实验 工科物理增刊 北京：清华大学出版社，19986 E.H.洛伦兹 混沌的本质 北京：气象出版社，19977 P.R.Hobson and A.N.Lansbury. A simple electronic circuit to demonstrate bifurcation and chaos.Physics Education，1997
