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1、平面上两直线的夹角求法解析一、内容概述在 2004 年审定的人教 A 和 B 版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及 到但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：r 歸 tan iV-tan鬲/乔tan (or g) = cos 8 -l+tanutanQ，平面向量中直线法向量夹角的余弦网I旳及直线方向向量夹角的余弦阖冋的应用来进行考查.二、基本概念 平面上直线方程的两种常用表示：直线的点斜式方程：厂Z d直线的一般式方程：加+功凶恥不全为) 平面上两条相交直线夹角的概念：平面上两条相交直线1, 4所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角. 平面上两条直线所成角的范围：
2、如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为 ；如果两条直线垂直，规定它们的夹角为9；如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为(cr/cr) 平面上直线的方向向量：基线与平面上一条直线平行或重合的向量耳，叫做直线的方向向量; 直线点斜式方程的一个方向向量为我). 平面上直线的法向量：基线与平面上一直线垂直的向量丙，叫做直线的法向量；直线的-般式方程加十d +不全为)的-个法向量为).三、理论推导/ -x tan 一 tan 3 -tiiil-匸iJ二七1已知倾斜角，根据两角差的正切公式求两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线1的倾斜角为刊，直线3的倾斜角为购.COS &
3、=2已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦角.求平面上两直线夹证明：如下图所示，在平面直角坐标系X。中，直线3的一般式方程为禺+砂+Q,一法向量高=（&司;直线的一般式方程为恥+艮尸+丁二，一法向量瓦=）.（右图）由法向量夹角的余弦得COS C酉，禹 =为直线幻，勺所成的一角，显然假设芒沁/fv2-1莎 1/ d5 （左图）或又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是090n，所以cos0 .从而得:AA+BBAA+BBa = arccQS即，平面上直线右与直线$的夹角求平面上两直线夹3已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦 角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线右的
4、点斜式方程为y =一方向向量国二诂）；直线4的点斜式方程为p二+鸟，一方向向量石=（1用）.假设日宀抽）为直线百，所成的角，显然沢（左图）或山畀（右图），由方向向量夹角的余弦得：卞卞厂-疔-厂仁吐爲）一; 国间十上f Jf十上JJi十可1十邙又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角住范围是炉河）,所以 曲八.从而得:必=arccos即，平面上直线1与直线2的夹角十冲J十上/注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量.但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别: 两直线夹角的范围是即耳的三角函数值一定是非负的.四、例题解析对于有
5、关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根 据题意选取恰当的理论和方法来解决问题.下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的例1已知直线的斜率是二次方程*一4工十1二的根，试求直线右与的夹角.解析：设直线L *的斜率分别为耐，禺，解二次方程川-4花十1二得,9所以直线几与的夹角0 =远涵岔二应点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法.例2求直线：%十4戸1龙二与直线心：7兀-1即-1二0的夹角.解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法直线旅
6、攵+4?T2 = 0一法向量禹二创）；直线l2:lx-2y-A = 0一法向量爲二-谒.COG 6 = cos 方12 -将旳先代入公式得,COG & =3x7-4x12_ 27493=%5小27-7133, j& = arctos所以直线几与耳的夹角亦点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度,也可以尝试利用方向向量求解,鼓励一 题多解例3光线沿直线卞2二照射到直线5”+2+2二0上后反射，求反射光线线 所在直线勺的方程.十尹-2 = 0解析：联立卽亠2 = 0得反射点的坐标为（D，由题意知直线“过该点，贝y设力的方程为总-2）+页p + 2）=0 （其中用二（比场为直线的法向量，门上不同时为零）.由物理学中的反射原理可知：直线1与直线2的夹角等于直线2与直线弓的夹角，即:a + 2b，解得讦或“总（舍去，否则“与&重合）.所以，直线4的方程为2工_11丁_26二0点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的直线方程；其 次，在求直线方程时,往往采用待定系数法先设出所求直线的方程，再利用直线的夹角 求解方法列式求解五、沉思提高已知直线百过点汛71)且与直线以驰-严山0arccos的夹角为1 ，求直线1方程.
