《专题22 平行四边形的存在性问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题22 平行四边形的存在性问题（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题22平行四边形的存在性问题考向二次函数中的平行四边形的存在性问题【母题来源】2021年中考西藏卷【母题题文】在平面直角坐标系中，抛物线y =-x2+bx+c与x轴交于A, B两点.与y轴交于点C.且点A 的坐标为（-1，0）,点C的坐标为（0, 5）.（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）.若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B, C, M, N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）将A的坐标（-1, 0）
2、,点C的坐（0, 5）代入y =-x2+bx+c得:0 = 1 b + c5 = c抛物线的解析式为y=- x2+4x+5；（2）过P作PD丄x轴于D,交BC于Q,过P作PH丄BC于H,如图:在 y=- x2+4x+5 中，令 y=0 得-x2+4x+5 = 0, 解得x = 5或x=- 1,B (5, 0),OB=OC,ABOC是等腰直角三角形, .ZCB0=45,TPD 丄x 轴， .ZBQD = 45=ZPQH, PHQ是等腰直角三角形，PH=爭,当PQ最大时，PH最大,设直线BC解析式为y = kx+5，将B (5, 0)代入得0 = 5k+5,.M（7,-16）；综上所述，M的坐标为
3、：（3, 8）或（-3,-16）.k=- 1,直线BC解析式为y =-x+5,设 P (m,-m2+4m+5), (0m5),则 Q (m,-m+5),525.PQ=(-m2+4m+5)-(-m+5)=-m2+5m=-(m)2+瓦,525a=-l0 ,.当 m=5时，PQ 最大为,2455 35 m=5时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P e ,)22 4(3)存在，理由如下： 抛物线y=- x2+4x+5对称轴为直线x=2 , 设 M (s , -s2+4s+5) , N (2 , t),而 B (5 , 0) , C (0 , 5), 以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重
4、合，如图：解得4-s+5：2+4s+4+02+02.M (-3,- 16),+，解得 f=-2it+0如图:2s2+4s+5+5(7,-16).解得E=-ii【试题解析】(1)将A的坐标(-1, 0),点C的坐(0, 5)代入y =-x2+bx+c,即可得抛物线的解析式为 y=- x2+4x+5；(2)过P作PD丄x轴于D,交BC于Q,过P作PH丄BC于H,由y =-x?+4x+5可得B (5, 0),故0B = 0C, BOC是等腰直角三角形，可证明PHQ是等腰直角三角形，即知PH=，当PQ最大时，PH最大，设直线 BC 解析式为 y = kx+5，将B (5, 0)代入得直线BC 解析式为
5、 y =-x+5，设P (m,-m2+4m+5), (0VmV5), 则Q (m, -m+5) , PQ=- (m-5) 2+24,故当m= |时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P (5 ,35)；4(3)抛物线 y =- x2+4x+5 对称轴为直线 x = 2 ,设M(s , -s2+4s+5) , N(2, (s+I = 5+0-sl+4s+5+t以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组t),而B (5 , 0) , C (0 , 5),0+5，即可解得M (3 , 8),Is+5 = I+0IIIA+n -sI+4s+4+0s+0 = I+5二i+4s+5+
6、5t+5，解得M(-3 ,-，以t+0，解得 M (7 , - 16).I 【命题意图】数形结合；分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；多边形与平行四边形；几何直观；应 用意识.【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题.命题形式有：(1) “三个定点、一个动点”的平行四边形 存在性问题(2) “两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题.【得分要点(1) “三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以A , B , C三点为顶点的平行四边 形构造方法有：作平行线：如图，连结AB , BC , AC,分别过点A , B , C作其对边的平行线，三条直线 的交点为D , E , F.则四边形AB
7、CD , ACBE , ABFC均为平行四边形.倍长中线：如图,延长边AC , AB , BC上的中线,使延长部分与中线相等，得点D , E , F,连结DE, EF , FD.则四边形ABCD , ACBE , ABFC均为平行四边形.DF（2） “两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、 一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形.解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序， 都需要分类讨论.通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答.如图，若ABCD且A
8、B = CD，分别过点B，C作一组平行线BE，CF，分别过点A，D作一组平行线AE， DF，则AAEB DFC，从而得到线段间的关系式解决问题.（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验.如图.已知平行四边形 ABCD.连结 AC，BD 交于点 O.设顶点坐标为 A （xA，yA）. B （xB，yB），C （xC，yC），D （xD，yD）.用平移的性质求未知点的坐标：x x =x x，亠B A C D 或-y y yB A C Dx 一 x = x 一 x ,B C A Dy y y y B C A Dx x x +x_ AC_BD,利用中点坐标公式求未知点的坐
9、标：-2 2y 儿 _ y yACBD 2 2有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好.1. (2021 陕西模拟)如图，抛物线y =-x2+2x+3与x轴交于点A、点B,与y轴交于点C,点D与点C关 于x轴对称，点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1) 求点A、点B、点C及抛物线的顶点坐标；(2) 当点P在线段0B上运动时，直线l交BD于点M,试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？解：(1)在 y =-x2+2x+3 中，令 x = 0 得 y = 3,令 y = 0 得 x=-1或 x = 3, A (- 1，0)，B
10、(3，0)，C (0，3)，*. m的值为1.2. (2021 重庆模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2+bx-3交x轴于点A (- 1, 0)和点B (3, 0),与y轴交于点C,顶点是D.(1) 求抛物线顶点D的坐标；(2) 若P是抛物线在第四象限内的一点，设点P的横坐标是m,连接AC、CP、BP，当四边形ACPB面积最 大时，求点P的坐标和最大面积；(3) 若N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M,使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出线段CN的长度；若不存在，请说明理由.y=- x2+2x+3=-(x- 1) 2+4, 抛物线的顶点
11、坐标为(1, 4)；(2)7点D与点C关于x轴对称，D(0,-3),设直线BD为y=kx+b，将B (3, 0), D (0,-3)代入得：(3k + b = 0k = 1直线BD为y=x-3,7点P的坐标为(m, 0),.*.M (m, m- 3), Q (m,-m2+2m+3),7四边形CQMD是平行四边形， CM的中点即是QD的中点，解：(1)抛物线的表达式为：y = a (x+1) (x-3)=a (x2-2x-3), 故-3a=-3,解得：a=1,故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；(2)令 x = 0,则 y=- 3,C (0,- 3), 如图1,过点P作PG丄AB于G,设 P
12、 (m, m:当m=2时S四边形ACPB的最大值为，此时P (2,-瓦)-2m -3),.0G=m, PG=-m2+2m+3,AS=S +S+S四边形 ACPB AOC 梯形 OCPG BGP11 1= 21X3+2m (3-m75315+2m+3) +2 (3-m) (- m2+2m+3)3-2 v, 即 t3 = 1, n3 = s, 解得：t=-2或4, s = 8或2, .点 N (1, 2)或(1, 8),CN=+ (2 + 3)2 = 丁26或 CN= Jl2 + (8 + 3)2 = Jl22； 当BC是对角线时，由中点公式得：3 = t+1,-3 = s+n,解得：s = 0,
13、点N (1, 0),CN=+ (0 + 3)2 = J0. cn的长为或或3. (2021 重庆模拟)如图，抛物线y = ax2+bx+4经过点A (- 1, 0) , B (2 , 0)两点，与y轴交于点C ,点 D是抛物线在x轴上方对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m.连接AC , BC , DB , DC.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 当厶BCD的面积与厶AOC的面积和为时,求m的值；(3) 在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ,使 得以点B, D , M , N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若
14、不存在，请说明理解：(1)将点 A (- 1 , 0) , B (2 , 0)代入 y = ax2+bx+4 ,b = 2a = -2，a-b + 4 = 0 4a + 2b + c = 0.*.y=- 2x2+2x+4；(2) 令 x = 0 ,则 y=4, C (0 , 4) , ,OC=4 ,TA (- 1 , 0) , ,OA=1 ,1S = 1 X1 X4 = 2 ,OAC 273BCD的面积与厶AOC的面积和为；,.Sarcd=-,2 BCD 2过点D作DE丄x轴交BC于点E ,设直线BC的解析式为y=kx+b,.b = 4. k = -2，2k + b = 0 ,b = 4 ,.*.y=- 2x+4,*.*D (m,-2m2+2m+4),则 E (m,-2m+4),.DE=- 2m2+4m,1 |S = i x2 X ED= | ,BCD 22I1、 I.*.- 2m2+4m= , .*.m=或 m=,y=- 2x2+2x+4的对称轴为直线x = l,D点在对称轴右侧,m=|；(3)存在点
