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带积分型余项的泰勒公式及其应用 吴洁定理 设在点的邻域内有连续的阶导数，则，有，其中。 证 从 可得：，。逐次积分，得 。注：（1）对右边用积分中值定理，有，其中介于与之间，这就是拉格朗日型余项。 （2）将余项中的被积函数看成一整体，用积分中值定理，有 （介于与之间） （）这是柯西型余项。（3）由于积分型余项中不含中值，因此带积分型余项的泰勒公式常用于比较精确的表达式中。例1 证明：对于每个整数都有。（普特兰第35届B-5）（注：可以利用以及）证：由提示可知，即证或，即 。对右边换元：令，则，于是即证，亦即。注意到被积函数非负，因此成立，为此对左边换元：令（，），则；右边被积函数相应也变成关于与的函数，但积分区间为，为此令，则，因此所证等式等价于 （）如果能证明，则上式成立，亦即原不等式成立。由于，令，则，当时，所以在上单调增加，从而当时，。带积分型余项的泰勒公式可改写为因此，当被积函数某一函数乘以（积分上限积分变量）的高次幂时，可考虑用上述公式。例1 计算（为正整数）解 设，则，于是。例2 计算（为正整数，）。解 设，则，于是。例3 计算。解 。
