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1、大学线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和 a | =工（I） j1 j2- jn ）a a .an1 ji 2 j2 njnj1 j2 jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式D = DT） 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）
2、的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式M .、代数余子式A = （-1）i+jMjjj定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：D非齐次线性方程组：当系数行列式D丰0时，有唯一解：x =-j （j = 1、2 n）j D齐次线性方程组：当系数行列式D = 1鼻0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式：aaaaaaii1213112131aaaTaaa212223122232aaaaaa313233132333转置行列式：对称行列式:a = aij ji反对称行列式:a =ijajiaaa111213三线性行列式:aa0
3、2122a310a33上（下）三角形行列式:奇数阶的反对称行列式值为零方法：用ka把a化为零，。化为三角形行列式1 22 21行列式运算常用方法（主要） 行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例） 化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵m*n矩阵的运算：加法（同型矩阵）交换、结合律数乘 kA = (ka )ij m*n分配、结合律A * B = (a )*(b )= (乘法ik m*lkj l *n一般 AB=BA,1不满足消去律ab）ik kj m*n 注意什么时候有意义由 AB=0 ，不能得 A=0 或 B=0转置(At )t = A(A + B)t = At +
4、Bt(kA)T = kAT(AB)t = BtAt (反序定理)矩阵的概念： A （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、 n 阶方阵、相等矩阵）方幕：Aki Ak2 = Aki + k2(Ak)k2 = Ak + k2几种特殊的矩阵： 对角矩阵:若 AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、 AB都是n阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是 0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设 A 是 N 阶方阵，若存在 N 阶矩
5、阵 B 的 AB=BA=I 则称 A 是可逆的，A-1 = B （非奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O、伴随矩阵）初等变换 1、交换两行（列） 2.、非零 k 乘某一行（列） 3、将某行（列）的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵 D =r矩阵的秩r(A):满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r (AB) =r (B) 初等变换不改变矩阵的秩 求法:1定义 2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别:都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等
6、就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵(ka ) = k(a ),行列式 ij n ij nka=kn a逆矩阵注：AB=BA=I则A与B 一定是方阵 BA=AB=I则A与B 一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵；若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且(A-1)-1 = A2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且(kA)-1 = 1 A-1k3、可逆矩阵A的转置AT也是可逆的，且(At)-1 = (A-1)t4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且(AB)-1 = B-1 A-1但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，
7、即使可逆，但(A + B)丰A-1 + B-1A为N阶方阵，若IAI=O,则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则|a-】| = |A|-1A )12A丿22 z特殊矩阵的逆矩阵：(对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆)B 伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：A* =rA11IA21代数余子式)1、分块矩阵D = A2、准对角矩阵 A =则 D -1 =r a-1 B* A*1判断矩阵是否可逆：充要条件是IA主0，此时A-1 - paa*求逆矩阵的方法：定义法AA-1 IA*伴随矩阵法A-1 TlAl初等变换法 CA| I ) CI | A-1 ) 只能是行变换 nn初等矩阵与矩阵乘
8、法的关系：次初等变换得到的矩阵，等设 A Ca ij ) 是 m*n 阶矩阵，则对 A 的行实行ij m*n于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种 n 阶初等矩阵右乘以 A(行变左乘，列变右乘)第三章 线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵-简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有唯一解；当r丰n时，有无穷多解r(AB)工 r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)vn当齐次线性方程组方程个数 未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要IAI=O 齐次线性方程组若有零解，一定
9、是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示(加法数乘)特殊的向量：行(列)向量，零向量8,负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系：线性组合或线性表示向量组间的线性相关(无)：定义Pi?向量组的秩：极大无关组(定义P188)定理：如果a ,a , 是向量组a ,a ,.a的线性无关的部分组，则它是j j2jr1 2s极大无关组的充要条件是：a ,a ,a中的每一个向量都可由a ,a，.a 线性表出。1 2sj j2jr秩:极大无关组中所含的向量个数。定理：设A为m*n矩阵，则r（A） = r的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合
10、或线性表示注：两个向量ap ,若a二kP则a是p线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合 任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注：n个n维单位向量组一定是线性无关一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量p可由a ,a ,.a线性表示的充要条件是r（a Ta T.a T ） = r（a Ta T.a Tpt）1 2 n 1 2 n 1 2 n判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设kk .k，求kk .k （适合维数低的）1 2 n 1 2 n2、向量间关系法
11、P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关1833、分量法（n个m维向量组）P :线性相关（充要）n r（a Ta T.a T） n18012 n线性无关（充要）n r（a Ta t.a t） = n12 n推论当m=n时，相关，则Ta Ta T = 0 ；无关，则Ta Ta T丰01123丨123当 mn 时，线性相关推广：若向量a ,a，a组线性无关，则当s为奇数时，向量组a +a ,a +a，a +a12 s1223 s 1也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。定理：如果向量组a ,a，a , P线性相关，则向量P可由向量组a ,a，a线性表出，且1 2 s 1 2 s表示法唯一
12、的充分必要条件是a ,a，a线性无关。1 2 s极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I）解的结构：解为a ,a .12（I）的两个解的和a +a仍是它的解；12（I）解的任意倍数ka还是它的解；（I）解的线性组合C a + c a + + c a也是它的解，C, C，C是任意常数。1 1 2 2 s s 1 2 s非齐次线性方程组（II）解的结构：解为卩,卩.12（II）的两个解的差卩-卩仍是它的解；12若卩是非齐次线性方程组AX=B
13、的一个解,V是其导出组AX=O的一个解，则U+V是（II） 的一个解。定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r（A）二r n，则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。若卩是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v 是（II）的全部解。第四章 向量空间向量的内积 实向量定义(a, B) = ap t = a b + a b +. + a b1 12 2n n性质:非负性、对称性、线性性(a,kp)=k(a,p)；(ka,kp)= k 2(a,p)；(a+p,丫 + )=(a, Y )+(a,5)+(P,Y )+(BQ );(工 k a ,工 l p )=工 k 工 l (a , p )a, p,y, 5 g Rn,i ij jij i ji=1j =1i=1j=1向量的长度|a|= J（a,a ）|a| = 0的充要条件是a=0； a是单位向量的充要条件是（a, a） =1单位化向量的夹角正交向量：ap是正交向量的充要条件是（a, B）=0正交的向量组必定线性无关性质：1、若A为正交矩阵，则A可逆，且A-i = At，且a -1也是正交矩阵；2、若A为正交矩阵，则|A| = 1 ；3、若A、
