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1、第4讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2013西安模拟)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的 ()解析(x2y1)(xy3)0或画出平面区域后，只有C合题意答案C2(2014南昌模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为()A1BC.D解析作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).答案D3(2014杭州模拟)在约束条件下，目标函数zxy的最大值为()A.BC.D解析由zxy，得y2x2z.作出可行域如图阴影部分，平移直线y2x2z，当直线经过
2、点C时，直线y2x2z在y轴上的截距最大，此时z最大由解得C点坐标为，代入zxy，得z.答案C4(2013陕西卷)若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为 ()A6B2C0D2解析如图，曲线y|x|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(2,2)时，z取得最小值，此时z2 (2)26.答案A5(2013四川卷)若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是 ()A48B30C24D16解析画出可行域，如图所示由图可知，当目标函数过A点时有最大值；过B点时有最小
3、值联立得故A(4,4)；对xy8，令y0，则x8，故B(8,0)，所以a54416，b5088，则ab16(8)24，故选C.答案C二、填空题6(2013安徽卷)若非负变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_解析根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x，y非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)作直线yx，并向上平移，当直线过点A(4,0)时，xy取得最大值，最大值为4.答案47(2013山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线xy20的垂线段长是|OM|的最小值，|OM|min.答
4、案8(2014渭南质检)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_解析画出可行域，知当直线ya在xy50与y轴的交点(0,5)和xy50与x2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形故5a7.答案5,7)三、解答题9(2014合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式xy50表示直线xy50上及其右下方的点的集合，xy0表示直线xy0上及其右上方的点的集合，x3表示直线x3上及其左方的点的集合所以，不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，y3,8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8
5、，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个)10制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目
6、，由题意知目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域将zx0.5y变形为y2x2z，这是斜率为2随z变化的一组平行线，当直线y2x2z经过可行域内的点M时，直线y2x2z在y轴上的截距2z最大，z也最大这里M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点解方程组得x4，y6，此时z40.567(万元)当x4，y6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014昆明模拟)已知x，y满足条件(k为常数)，若目标函数zx3y的最
7、大值为8，则k ()A16B6CD6解析画出x，y满足的可行域如图，联立方程解得即C点坐标为，由目标函数zx3y，得yx，平移直线yx，可知当直线经过C点时，直线yx的截距最大，此时z最大，把C点代入zx3y，得83，解得k6.经检验，符合题意答案B2(2014临沂一模)已知实数x，y满足不等式组若目标函数zyax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为()A(，1)B(0,1)C1，)D(1，)解析作出不等式对应的平面区域BCD，由zyax，得yaxz，要使目标函数yaxz仅在点(1,3)处取最大值，则只需直线yaxz仅在点B(1,3)处的截距最大，由图像可知akBD，因为
8、kBD1，所以a1，即a的取值范围是(1，)答案D二、填空题3(2013北京卷)已知点A(1，1)，B(3,0)，C(2,1)若平面区域D由所有满足(12,01)的点P组成，则D的面积为_解析(2,1)，(1,2)设P(x，y)，由，得故有又1,2，0,1，故有即则平面区域D如图中阴影部分所示由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M(4,2)，N(6，3)，故|MN|，又x2y0与x2y30之间的距离为d，故平面区域D的面积为S3.答案3三、解答题4变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围解由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.故z的取值范围是2,29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.故z的取值范围是16,64
