《2013 年自主招生专题第一讲 集合与命题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013 年自主招生专题第一讲 集合与命题（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013 年自主招生专题第一讲 ：集合与命题第一部分 近年来自主招生数学试卷解读近年来名牌高校自主招生考试竞争愈演愈烈，了解自主招生考试特点，合理安排日常学习，积极备考对各位考生意义重大。下面简要分析一下自主招生数学考试的特点 ，并对一些有代表性的试题作简要分析。 自主招生试题特点：试题总难度高于高考，多数题目达到高考中高难度，部分题目达到竞赛难度，试题灵活多变，毫无规律可寻，但各个学校的试题已经开始形成各自的风格。总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约60% 左右。 2、联系教材，适度拓宽知识面：注
2、意课本上的自主.探究和阅读材料，对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。 3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。 4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。高频考点一览：不等式均值不等式与柯西不等式的综合运用，凸函数的性质，证明不等式的常用方法杂题常见的组合数学问题（组合计算、组合构造、博弈问题、染色问题）解析几何解析几何的基本运算、取值范围与最值问题以及探索性问题平面几何平面几何的基本计算和证明、三角形五心问题、图形变换函数函数的奇偶性、周期性、单调性的证明与应用三角函数一些具有技巧性的三角变换，三角恒等式和简单
3、的三角不等式问题立体几何复杂的空间几何构型，空间范围内的旋转对称等变换问题排列组合比较具有技巧性的排列组合问题和一些复杂的概率问题方程和多项式高次方程，无理方程的技巧性处理，一些简单的多项式知识数列非等比等差数列的递推公式、通项公式、求和公式的常见解法一、 试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。关键步骤提示：二、 应试和准备策略1. 注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。2. 注意适当补充一点超纲内容如上
4、面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。3. 适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。4. 注重知识的延伸加深复旦，交大，清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍简单。有些问题稍有一定的深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。例如2008年复旦自主招生的第88题：关键步骤提示：上式此题若是知道三次方程的韦达定理，则容易解决。但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉，对三次方程的韦达定理则比较陌生。又比如，柯西不等式可以解决许多不
5、等式问题，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生对此此不等式并不十分熟悉。但柯西不等式其实应用得非常广泛，我们将在不等式一讲中将会介绍它。总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。第二部分：集合与命题一、 知识补充：容斥原理基本公式:(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)； (2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，
6、同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：设A参加游泳比赛的同学，B参加田径比赛的同学，C参加球类比赛的同学,则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(ABC)=28,且card(AB)=3，card(AC)=3，card(ABC)=0,由公式得281581433card(BC)+0,即card(BC)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15339(人) 二抽 屉 原 理抽屉原理的基本形式 定理1、如果把
7、n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 例1 已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于.分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边
8、界），其距离便不大于。 以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。如图2，设BC是ABC的最大边，P，M是ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么PQN=C，QNP=A因为BCAB，所以AC，则QNPPQN，而QMPQNPPQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以 PQPM。显然BCPQ，故BCPM。由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。 第三部分、典型例题1（1987年全国高中联赛）已知集合若是平面上正八边形的
9、顶点所构成的集合，则a的值为 .解：点集A是顶点为（a，0），（0，a），（a，0），（0，a）的正方形的四条边构成（如图111）.将，变形为所以，集合B是由四条直线构成.欲使为正八边形的顶点所构成，只有这两种情况.（1）当时，由于正八形的边长只能为2，显然有故 .（2）当时，设正八形边长为l，则这时，综上所述，a的值为图111如图111中2.(2007年上海交大)设不等式与解集分别为M和N,若M是N的真子集,则的最小值为 .答案23.(2007年清华大学)对于集合,称M为开集,当且仅当,使得.判断集合与是否为开集,请证明你的结论.4.(2009年清华大学)求证:一个数列中各数相等的充要条件是
10、:其中任意个元素中的个之和等于另外个元素之和.5.(2006年清华大学)求由正整数集组成的集合S,使S中的所有元素之和等于所有元素之积.答案:6. (2009年浙江大学)已知，设二次函数.证明：对任意均有成立的充要条件是.7. (2009年清华大学)求证：当p,q均为奇数时，抛物线与轴交点横坐标为无理数.8.(2009年北京大学)是否存在,使与均为有理数?说明理由.答案:不存在9. (2006年清华大学)已知都是有理数，也是有理数.证明：都是有理数.10.(43届美国中学数学竞赛)设S为集合的子集，并且S中的任意2个元素之和不能被7整除，那么S中元素最多有多少个？答案：23个三、针对性训练1对
11、集合1，2，n及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。解：集合1，2，3，4，5，6，7的子集中，除去7外还有个非空子集合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设这是把结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为。2n元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然
12、后就可以求出总的子集对来了。解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若是k个元素，第二个子集就由其余n-k个元素组成，可能的情况是种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为种，那么k从o变到n，总的情况可能就是。如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同，则对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，因此有个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，
13、或者不在两个集合中。解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对的总数，以下同解法一。3.以某些整数为元素的集合具有下列性质：中的元素有正数，有负数；中的元素有奇数,有偶数；1；若，,则。试判断实数0和2与集合的关系。解：由若，,则可知，若，则（1） 由可设，且0，0，则| (|)故,由,0()+。（2）2。若2，则中的负数全为偶数，不然的话，当（）（）时，1（），与矛盾。于是，由知中必有正奇数。设，我们取适当正整数，使，则负奇数。前后矛盾。4.若为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则（1
14、） 证明：三个集合中至少有两个相等。（2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：（1）若，则所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设中的最小正元素为，不妨设，设为中最小的非负元素，不妨设则。若0,则0，与的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以，同理。所以=。（3） 可能。例如=奇数，=偶数显然满足条件，和与都无公共元素。5.设，且A具有下列性质：（1）对任意，恒有；（2）。试证A中的元素为奇数的个数是4的倍数，且为定值.证明：考虑，每个集合中取一个元素，但注意到2+4+200=1010010080，不妨设不属于A的偶数为，则相应的奇数应在A中，且对应差的和为20.6(2010年江苏五校)已知集合Aa1，a2，a3，an，其中aiR（1in，n2），l(A)表示aiaj(1ijn)的所有不同值的个数（1）已知集合P2，4，6，8，Q2，4，8，16，分别求l(P)，l(Q)；（2）若集合A2，4，8，2n，求证：l(A)；（3）求l(A)的最小值解：（1）由246，268，2810，4610，4812，6814，得l(P)5，由246，2810，21618，481
