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1、数学建模优秀论文五篇（一）数码相机定位问题 摘 要 本文对相机定位问题建立数学模型，它实质上是一个空间坐标变换问题。我们首先建立了物点与像点间坐标关系的数学模型；并利用这个模型解决了问题1和2；然后对模型进行了残差分析并给出了精度估计，最后在此基础上研究两台相机的相对位置。在问题1中，我们建立了从物平面到系统坐标系的变换公式；然后利用空间几何变换和矩阵变换两种方法，通过证明三个定理（定理1至定理3），得到物点到像点坐标转换的两个模型（模型1和模型2），并对两个模型进行了比较。对于问题2，在模型1和模型2的基础上进行求解。在问题1中我们已经知道了物点到像点的坐标变换式，关键就是参考点的选取：通过
2、建立、证明、分析关于参考点选取的定理4和定理5，我们设计了边缘选点和切线选点两种方法；并代入模型1和模型2，对靶标圆心所成的像坐标进行求解，发现它们的结果极为近似。问题3中我们首先对模型进行精度分析，通过对残差分析法的推导，结合模型2的数据，可以得出精度的表达式；对模型1中两种不同选点方法进行研究，得到切线选点法在精度方面优于边缘选点法的结论。对于模型稳定性，我们通过参数扰动和物点扰动两种方法进行定性和定量讨论。问题4研究两相机的相对位置；先针对两相机建立各自的坐标系，在模型2的基础上得到各坐标系中物点、像点变换公式，进行推导后建立模型3；最后为方便求解，我们设计了模型求解算法。最后，本文还对
3、模型推广和实际应用进行了进一步讨论，提出了改进模型的方法和思路。利用光学原理、矩阵变换建立模型，对如何寻找相对应的物点、像点的参考点的深入讨论是本文的一个重要特色。关键词：透镜成像原理、空间矩阵变换、边缘选点法、切线选点法 、残差分析 参数扰动法、物坐标扰动、相对空间位置 目录摘 要11 问题的提出42 问题的分析43 模型假设54 符号约定55 问题1的解：求解的两种模型5 5.1 模型1的建立5 5.1.1模型的准备55.1.2建立系统坐标系 65.1.3 从物平面到系统坐标系的变换75.1.4 模型1：从物平面到像平面的物理映射关系8 5.1.4.1确定空间任一物点与其像点的坐标关系式8
4、5.1.4.2确定边缘点在空间坐标系中的坐标 95.2 模型2 ：基于矩阵空间坐标转换模型115.2.1模型2建立 115.2.2 如何求解模型？ 125.3 模型1和模型2的比较136 问题2的求解136.1求解的数据准备工作136.1.1像点扫描136.1.2 像平面坐标系的建立 146.2 物与像之间对应参考点的选择146.2.1 选择的原则146.2.2参考点选择方法 146.2.3边缘选点法156.2.4切线选点法166.3 靶标圆心像点的求解176.3.1 模型2边缘选点法求解 176.3.2 模型1边缘选点法求解 186.3.3 模型1和模型2结果比较：殊途同归 186.3.4
5、模型2的切线选点法的求解197 问题3的求解197.1模型2稳定性的分析197.1.1参数扰动法197.1.2 物点坐标扰动法207.2 模型精度分析 22 7.21误差产生原因分析227.2.1.1 最小二乘法的误差227.2.1.2 由相片分辨率产生的误差 227.2.1.3 参考点的选择造成的误差237.2.2 模型精度的分析247.2.2.1 残差分析法247.2.2.2 模型的精度计算 258 问题4（模型3的求解）278.1 坐标系建立288.2 各坐标系的变换 288.3 模型3的建立298.4 模型求解算法299 模型评价及推广 319.1模型的优点319.2模型的缺点319.
6、3模型推广3110 参考文献31附录132附录2321 问题的提出数码相机的应用越来越广泛，在交通监管（电子警察）等方面也不例外。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是用两部相机定位的双目定位法。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，从照片中分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块已知大小的平板上画若干个圆（称
7、为靶标），同时用两部相机照相，得到这些圆所成的两张像，通常它们的像会产生变形，因此需要确定所成像的圆心，通过它们的几何关系确定两部相机的相对位置。有人设计了一个边长为100mm的正方形靶，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆。（见附录1图1）用一位置固定的数码相机摄得其像（见附录1图2）。要求：（1） 以该相机的光学中心为原点，平面平行于像平面建立坐标系，建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。（2） 根据附录1中图1，图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,
8、该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024768；（3） 设计一种自己的方法检验自己模型，并提出标准，进行分析。（4） 利用已经建立的模型，通过此靶标给出两部固定相机的相对位置。2 问题的分析 本文要求对数码相机进行定位，我们可以获取的信息只有靶标的信息和靶标像的信息，因此解决问题的关键在于建立适当的空间坐标系，先研究一台相机情况下物点、像点的坐标关系，然后再确定两台数码相机的相对位置。问题1中我们研究一台相机情况下靶标上物点与照片上像点的坐标关系，在依题意建立坐标系后，先通过旋转、平移等参数设定靶标在空间中的位置，将靶标
9、、相机、像面三者位置固定，可以通过透镜成像原理和矩阵变换两种方法，研究靶标上任一物点与其相应像点之间的坐标关系。问题2要在问题1模型的基础上，通过提取靶标及其像上的信息，确定该靶标下的模型，然后计算靶标圆心相应的像点。问题的关键是如何找出两幅图中的对应点以进行研究，我们可以应用旋转、平移等空间变换不影响拓扑关系的原理来寻找对应点。 问题3提出对模型的稳定性和精度提出检验方案，对于精度我们应从实际观察值和拟合值间的差来研究模型精度，进行稳定性分析我们重点讨论参数对模型的影响。问题4在前面模型得到的物点到像点矩阵变换公式的基础上，以一台相机和靶标建立空间坐标系，可推导出另一台相机光学中心的空间坐标
10、，这样就可以确定两台相机的相对位置。 3 模型假设 为简化问题，我们对模型作如下假设：1忽略用灰度二值化处理像平面产生的误差。2. 不考虑透镜的光学曲径变化造成像的畸变对模型的影响。 4 符号约定物平面上的原点在在空间坐标系中的值物平面坐标系轴与空间坐标系轴的夹角（） 物平面与系统坐标系的平面的夹角（） 物平面上点的坐标 物平面上点的坐标在系统坐标系中的坐标 像点的坐标 像距 平板上圆的半径 空间坐标系中的坐标原点5 问题1的解：求解的两种模型 51 模型1的建立 5.1.1模型的准备（a）透镜成像的数学分析由于问题中以透镜的光学中心为坐标原点，根据透镜成像原理结合问题我们对照相光学过程做如下
11、的简化。图5.1镜成像过程有几何光学我们可以的到下面的关系式 物体到光学中心的距离； 物体的高度；物体的像高；像的光学中心的距离。从而我们可以得出一般结论，物体上任意一点到光轴的距离与该点的像到光轴距离是线性关系，关系表达式如下。 （5.1.1）（b）本节所使用的一些名词解释为简化和规范说明问题，我们引入以下几个名词：物平面：被拍摄的正方形平板所在的平面；像平面：像点组成的平面，文中即胶片所在的平面；像距：光学中心至像平面的距离最高分辨率：数码相机能拍摄的最大图片的面积。由题中条件知相机的分辨率为1024768，根据1毫米约为3.78个像素单位，相机所能拍摄的最大照片为270.9mm203.2mm,因此平板可以被完整拍摄。边缘点：在一个平面上，边缘点指某连通图最边沿的点，即此连通图某一方向坐标最大的点51.2建立系统坐标系结合问题1的要求，我们建立以透镜的光学中心为原点、光轴为轴、镜面为平
