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1、第二节空间几何体的表面积与体积【最新考纲】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.I基础梳理1. 多面体的表（侧）面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面 积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图Z-0：111 2r心”丫；/2rr i侧面 积公式Si 柱is 2nrlS圆摧侧=Tcrl= 7t(r+/)Z3.空间几何体的表面积与体积公式称几何表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S农面积=S侧十2S底V = Sh锥体（棱锥和圆锥）血租=S側+ Sjk台体（棱台和圆台s表西积s億+ 头+s下V=y（S 上+ S
2、 卜.+ y/S t. ST ）/1球S = 4nR锥体的体积等于底面面积与高之积.（） 球的体积之比等于半径比的平方.（） 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（） 已知球0的半径R，其内接正方体的边长为 a,贝S R =于a.（）答案： x （2）X （3）V （4）V2. （2017广州一模）九章算术中，将底面为长方形且有一条I学情自测1. （质疑夯基）判断下列结论的正误.（正确的打“”，错误的 打 “X” ）侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三 棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 P-ABC为鳖臑，PA丄平面ABC, PA= AB= 2, AC= 4,三棱锥P-ABC的
3、四个顶点都在球 0的球面上，则 球0的表面积为（）A. 8 n B. 12 n C. 20 n D. 24 n解析：本题主要考查空间几何体.由题意得该四面体的四个面都 为直角三角形，且 PA丄平面ABC, PA= AB= 2, AC= 4, PC= 2 5,PB= 2 2.因为 PBC为直角三角形，因此 BC= 2 3或 BC= 2 7 （舍）.所以只可能是BC= 2 3,此时PB丄PC,因此AB丄BC,所以平面ABC所在小圆的半径即为r = 2 = 2,又因为PA= 2,所以外接 球0的半径R=、r2 +（A） 22 + 1 =勺5,所以球0的表面积 为S= 4兀R2.答案：C3. （201
4、5新课标全国I卷）九章算术是我国古代内容极为丰 富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺.问：积及为米几何？ ”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如 图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的 高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知 1斛米的体积 约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A. 14 斛 B. 22斛 C. 36 斛 D. 66 斛n16解析：设米堆的底面半径为r尺，则牙r = 8,所以r =2n1 1 2所以米堆的体积为V = 4X 3兀5 =n1216 2n5耆（立方尺）.320故堆放的米约有 9 T62
5、22（斛）.答案：B28 n丁，4. （2016课标全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 则它的表面积是（A. 17nB.18nC. 20 n28 n【解析】根据三视图还原出几何体，再根据表面积公式求解.14由三视图可知其对应几何体应为一个切去了 &部分的球，由3兀x8=28n,得r = 2,所以此几何体的表面积为 3宀+ 3XJxr2 =17n,故选A.【答案】A5 .已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为则正方体的棱长为39 n 3解析：设球的半径为R，则3%R3= 2R = 2，又 2R= */3a，得 a= 3答
6、案：3名师微博通法领悟 一种思想一一转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般是将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面 图形面积的求法.两种方法割补法与等积法1. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成 已知体积公式的几何体进行解决.2. 等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等 积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高， 特别是在求三角形的 高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值.两个注意点一一求
7、空间几何体的表面积应注意两点1. 求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.2. 底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时 要紧扣定义，以防出错.A级基础巩固一、选择题1. （2014课标全国H卷）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 3D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为（）3A. 3B.qC . 1D.-2解析：因为B1C1启D,所以BD /平面AB1C1,点B和D到面AB1C1的距离相等.所以 VA B1DC1 = VD AB1C1= VB AB1C1 = VC1 ABB1 =3x2X 2X（ 3）2= 1.答案：C2. （2014湖北卷）算数书竹
8、简于上世纪八十年代在湖北省江 陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载 有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该 术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高h,计算其体积V的近似1公式V36L2h它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 n近似取为3. 那么，近似公式 V疋金L2h相当于将圆锥体积公式中的 n近似取为75（ ）22 25 157 355A尹C10D.而解析：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面圆周长L = 2冗r,Lii1所以圆锥底面圆的半径r =，贝卩圆锥的体积为 V = 3Sh= 3 %r2h= 3 2n333n L 2h = 3 L2h
9、.4n232 n2i225又V 75L2h，所以L2h7-L2h，解得n笃57532 n758,且该几何体的体积是3,则正答案：B3. 某几何体的三视图如图所示视图中的x的值是（）正视图侧视图俯视图9 3A. 2. 3解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S3底=2（1 + 2） X 2= 3.1 V = 3X3 = 3,解得 x= 3.答案：D4. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2，则该球的表面积为（)81 nA. 4 B. 16 n C. 9 n27 nD. 4解析：如图，设球心为0,半径为r，则在RtkOF中，（4- r）2+ ( 2)2= r
10、2，解得 r = 9答案：A5. （2017石家庄调研）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）T|: 1211Lj正视图侧视图俯视图2 n4 nA. B n C.D. 2 n解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱内挖去两个与圆柱同底 的两个半球.1 4 n 2所以几何体的体积 V = V柱一 2V半球=2 n 12 2X ?）13= 3兀答案：A6. （2015北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表 面积是（）正住）视图侧佐）视俯视图A. 2+ 5B. 4+ 5C. 2+ 2 5D. 5解析：作出三棱锥的示意图如图，在 ABC中，作AB边上的高CD，连接SD在三棱锥S ABC
11、中，SCX底面ABC, SC= 1,底面三角形ABC是等腰三角形，AC = BC, AB边上的高CD = 2, AD=BD = 1,斜高 SD= 5, AC = BC = 5表=S$BC + SSAC + SSBC + SSAB=2x2X2+2（；x ix 5） + ；x 2X 5= 2+ 2 5.答案：C二、填空题7. （2015江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为4的圆 锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体 积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为.解析：设新的底面半径为r，由题意得1 221 2 2- n2X 4+nF X
12、8 =石 n2X 4+ n r2 8,r2= 7,r = 7.答案：78. （2015天津卷）几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积是m3.F2一|测视图解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1,圆柱的底面半径为1且其高为1 8几何体的体积 V = 3 n 12X 1X 2+n12 X 2= 3 n.答案：8 n9. （2015课标全国I卷）已知H是球0的直径AB上一点，AH : HB = 1 : 2, AB丄平面a, H为垂足，a截球0所得截面的面积为n , 则球0的表面积为.解析：如图，设球0的半径为R,贝卩由AH : HB =
13、 1 : 2得12RHA = 3 2R = 3R,OH = 3.截面面积为n = n(HM) 2,HM = 1.在 RtMMO 中，0M2= OH2 + HM2,R2 = ：R2 + HM2= ：R2+ 1,/R = .2.9942i3/2 ,2 9 S 球=4 xR = 4n4= 2 n.9答案：2兀三、解答题10 . (2015全国卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB =16, BC = 10, AAi = 8,点 E, F 分别在 A1B1, D1C1 上，AiE = DiF=4过点E, F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1) 在图中画出这个正方形(不必说
14、明画法和理由);(2) 求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.解：交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图，作EM丄AB，垂足为M，贝卩AM = A“E = 4, EB“ = 12,EM = AA1 = 8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH = EF = BC = 10.于是 MH = EH S 四边形 EB1BH = 2x (12 + 6)X 8= 72. EM2 = 6, AH = 10, HB = 6.1故 S 四边形 A1EHA = 2x(4+ 10)X 8= 56,因为长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱,9 7所以其体积的比值为7（9也正确）B级能力提升1.（2015课标全国H卷）已知A,B是球0的球面上两点，/ AOB =90
