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1、巧用向量求解共线、共面问题证明三点共线和四点共面是空间向量的重要应用解决这类问题的关键是把三点共线和四点共面问题分别转化为向量共线和向量共面问题依据共线向量、共面向量定理和向量基本定理可以有下面的具体结论：（1）、三点共线存在实数x，使存在惟一的一对实数x，y，使得，且（2）、四点共面与共面存在实数对，使存在惟一的一组实数x，y，z，使得，且下面举例说明其应用一、三点共线问题例在空间中，已知点，求证：点、共线证明：由已知，得因为，所以故、共线点评：本题通过向量的坐标运算转化为向量关系，运用方法（）得证例2已知又点、不共线，如果a=3c，b=2d，试问：t为何值时，、三点共线？解析：由于点、不共
2、线，得不共线，若使点、共线，则有3t+2t=1，解得故当时，、三点共线点评：本题先表示为向量之间的线性关系，然后直接运用（）的结论求解二、四点共面问题例3已知正方体，、为空间任意两点，若，试问点是否一定在平面内？并证明你的结论解析： 由，得、四点共面故点在平面内点评：本题运用空间向量的加、减与数乘运算，转化向量之间的关系后，依据方法（）得证例4如图，矩形所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD（1）四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA的重心、是否共面？（2）若四点共面，请指出此面与面?琢的关系解析：（）连结并延长分别交于点、，则、分别为边的中点因此四边形是平行四边形，且，又。而，得显然，
3、四点、共面；（2）由（1）知，从而面，即面又，从而面，即面由于，故面面点评：本题结合向量的加、减运算，将所求解的问题转化为方法（1），从而产生结论，在第（2）小题中用线面平行的判定定理得到线面平行巧用解题两个向量a、b的数量积具有性质：，当且仅当a与b同向时取等号此不等式结构简单、形式隽永、内容丰富运用它可以巧妙地解决求最值和证明不等式等问题一、巧求最值例已知，求的最小值解： 设，则，即故的最小值为9例2求实数x、y的值，使得取得最小值解：令，则，由，得，即，当且仅当，即时，取得最小值故所求x、y的值分别为二、巧证不等式例3设三角形三边长为a、b、c，且a+b+c=2p求证：证明：构造空间向量，设，则。原不等式成立例已知x、y、z都是正实数，求证：证明：设，则，。由于，得，即原不等式成立
