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1、精选优质文档-倾情为你奉上從物理學到財務金融漫談跨學科的結合文/林蒼祥、蔡蒔銓摘要財務金融，尤其是財務工程己經發展成為橫跨財務這個社會學科和物理、數學、電腦等理工學科的新領域；不論是在學術研究上，或是在實務應用上，這樣的多門學科的連結與融合，都日益明顯。非財務出身而在財務界表現傑出的學者或實務人才不勝枚舉，包括1997年諾貝爾經濟學奬得主Robert C. Merton、2002年Quantitative Finance 期刊的風雲人物 Alexander Lipton-Lifschitz、出版過許多與財務工程相關書籍的Paul Wilmott等等。財務界以Geometric Brownian
2、 motion來描述股價、油價、滙率等財務上重要變數的時間序列，並因此與許多物理學上的模型與定律產生重大的連結。而數學上處理Brownian motion的技巧也因此常被財務研究人員借用來做理論的推導與實務的應用。例如財務上著名的Black-Scholes-Merton偏微分方程式便與量子力學上薛定愕方程（Schrdinger equation）有極大的相似性。若能具備對財務深入而正確的認識，配合上數學以及電腦等強有力的工具，理工學科人才便能在財務的領域中，擁有紮實的競爭優勢。专心-专注-专业壹、前言在近十年來，愈來愈多理工背景出身的人才投入財務領域的工作。而華爾街在徵求財務工程人才時也已經把
3、專業要求從財務轉到數學、物理學、或其他的理工電腦科系。據估計，有超過半數以上的財務工程從業人員是來自與這些理工電腦科系，這樣一個明顯的現象代表財務實務界對於人才需求的新趨勢，以及看似毫不相關財務與理工學科背後深層的密切相關性。財務學界及實務界這幾年來大量借用數學的技巧和物理學的基本模型，並因複雜的模型與大量的資料處理需求而逐漸依賴電腦的運算處理。因此財務界向數學、物理學、或其他的理工電腦科系舉才的現象日益明顯。非財務出身而在財務界表現傑出的學者或實務人才不勝枚舉，包括1997年諾貝爾經濟學奬得主Robert C. Merton、2002年Quantitative Finance 期刊的風雲人物
4、 Alexander Lipton-Lifschitz、出版過許多與財務工程相關書籍的Paul Wilmott等等。當討論到財務與物理學之間的相關性，很自然的要從布朗運動（Brownian motion）談起，財務界以Geometric Brownian motion來描述股價、油價、滙率等財務上重要變數的時間序列，並因此與許多物理學上的模型與定律產生重大的連結。而數學上處理Brownian motion的技巧也因此常被財務研究人員借用來做理論的推導與實務的應用。一個明顯的財務與物理學相關的例子就是在財務學上應用Girsanovs理論改變Brownian motion的drift項（Marti
5、ngale Representation Theorem），就如同物理學上的座標轉換，在轉換的前後距離和面積並不因此而改變。市場風險價格的考量以及Radon-Nikodym derivative導出的Martingale Measure共同組成現代財務研究的重要基礎。當然在古典力學上應用廣泛的動態積分（例如path-integral），亦成為財務模型推導上的重要工具。貳、理科人在財務領域許多數學和物理學出身而進入財務領域的人，在學術以及實務上表現卓越並作出重大貢獻，在此僅舉數例以供讀者參考。Robert C. Merton 是一位數學背景出身而獲得諾貝爾經濟學獎的著名學者，他於西元1966年及
6、1967年在哥倫比亞大學和加州理工學院分別取得他的工程數學學士和應用數學碩士的學位。在那幾年的數學學習生涯，Merton首次對隨機過程和最優控制理論產生了濃厚的興趣。他特別癡迷於John Chu的熱傳導課程，它使他認識到了高深的數學在解決現實問題時的力量。之後，Merton決定離開加州理工學院(也離開數學)去學習經濟學。他師從著名的經濟學者Paul Samuelson，並於西元1970年取得麻省理工學院經濟學博士的學位。Merton 與Myron Scholes (及已故數學家Fischer Black) 根據源於物理學的隨機過程所發展出的 Black-Scholes-Merton Optio
7、n Pricing Model 為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。 Merton 更擴展了原模型的內涵,使之同樣運用於許多其他形式的金融交易。瑞士皇家科學協會 (The Royal Swedish Academy of Sciences) 讚譽他們在期權定價方面的研究成果是之後25年經濟科學中的最傑出貢獻。Alexander Lipton-Lifschitz 從莫斯科大學取得數學碩士及博士的學位後，從事與地球磁性動態(the Earths magnetohydrodynamic)的充電原漿物理(the physics
8、of charged plasmas) 的相關研究，並曾榮獲俄羅斯科學協會(The Russian Academy of Science) 所頒發的最佳青年物理學家獎。在西元1989年以政治避護身份到了美國後，曾在麻省理工學院從事研究，並成為伊利諾大學的教授。後來，Lipton 因為家庭的關係，進入華爾街工作，開始運用他在數學和物理學上的專業知識，從事財務工程的實務應用。在他進入華爾街的四年內，他就成為在新奇選擇權訂價的領域中著名的創新研究者。他運用物理學上自我相似性 (Self-Similarity Technique)的技巧，推導出新的亞式選擇權(Asia Options)及回顧選擇權(L
9、ookback Options) 的訂價模型，並對動態波動性所造成避險模型的執行困擾有重大的貢獻。他也因此獲得風險雜誌(Risk Magazine)評選為2000年最佳數量分析人員的殊榮。Lipton接受著名期刊Quantitative Finance訪問時表示，物理學和財務工程背後的機制有很大的相似性，運用數學和物理學上的技巧來解決財務上所遇到的難題，是再自然也不過的事了。他認為擁有完整而嚴謹的數學和物理學的訓練，對於想要進入財務領域的人來說，有顯著的競爭優勢。Paul Wilmott 則是正統物理學出身的學者，他主要的研究領域是在根據Newtonian 原則所導出來的Navier-Stok
10、es公式為中心的流體力學。他的博士論文是有關潛水艇的移動，他曾在英國牛津大學研究過相當多與物理學相關的問題；例如：玻璃纖維的製造、飛機機翼的設計、渦輪引擎扇片的冷卻等等。在這個過程中，他學習到以開放的心來運用他完整而嚴謹的數理訓練來解決實際的問題。在八O年代末期，他開始注意到一些在財務領域中有趣的數學問題，在此之後，他逐漸把工作以及研究的重心轉移到財務工程領域；現在他是英國牛津大學皇家科學院的研究學者，並出版過許多財務工程相關的著作，例如：Derivatives-The theory and practice of financial engineering.）。他同時也是許多財務工程顧問公司
11、的合夥人，以及軟體公司的執行長，他也擔任Applied Mathematical Finance以及其他許多著名期刊的主編或編輯。像Paul Wilmott 這樣從傳統物理學出身，而在財務工程領域創造事業高峰，並對相關學術及實務界有重大影響力的研究人員在過去十年來有逐漸增加的趨勢。參、物理學對財務領域的影響物理學對財務領域的影響是全面且深遠的，在此僅舉數例說明。英國植物學家Robert Brown 於西元1827年觀察花粉在水裡不斷的舞動，這種現象稱為布朗運動（Brownian motion），愛因斯坦（Albert Einstein）以獨特的眼光分析是微小的水分子在作祟，還利用數學方法計算出
12、分子的大小和亞佛加厥常數，證明分子的存在。三年後，法國物理學家佩蘭通過實驗印證了愛因斯坦的理論。早在西元1900年， Bachelier以數學方法分析巴黎股票交易的價格變化，自此，財務研究人員開始將股票價格的變化，與物理學上布朗運動所描述的微粒子動態軌跡的數學模型相互連接，之後，以布朗運動來描述股票價格的動態軌跡，更成為財務上連續時間 (Continuous-Time Finance) 研究的重要基礎。假設W服從布朗運動，則W的變化，dW，是一個符合常態分配的隨機變數，dW的期望值為0，變異數為時間的變化，dt。十九世紀初，在物理學上提出的熱傳導偏微分方程式 (Heat Partial Dif
13、ferential Equation)，亦廣泛地運用在財務領域。熱傳導偏微分方程式除了在物理學上解釋熱流的動態軌跡外，還可以用來分析例如：煙粒子在空氣的運動、Belousov-Zhabotinsky 等化學模型、Hodgkin-Huxley 電流活動模型等等。一般常用來描述溫度的簡單熱傳導偏微分方程式為其中，u是溫度，x是spatial coordinate，而t是時間。在這個偏微分方程式中，可看出溫度對x的二次微分與其對t的一次微分之間的平衡。在財務領域中，最重要的偏微分方程式無疑是Black-Scholes-Merton偏微分方程式。假設股票價格服從幾何布朗運動（geometric Bro
14、wnian motion），則其中，dS為瞬間股價之變動，是股票的瞬間期望報酬，是股票的瞬間波動度，W為Wiener process。假設V是一種衍生性金融工具，其價值為股票價格及時間的函數，即V = V(S,t)。根據Itos Lemma，購買一單位的V，並賣出（放空）單位的S，以創造一個新的投資組合F。則選擇，使得新的投資組合F成為無風險資產，即此在財務上稱為完全避險比率(Delta Hedging Ratio)，在此比率下，新的投資組合F的隨機不確定性降為零。Delta Hedging亦是財務上動態避險的一種，避險比率隨著V對S的一次微分在不同時間的變化而改變。既然新的投資組合F是無風險
15、資產，在無套利空間的前題下，投資組合F的瞬間期望報酬應該等於無風險資產的瞬間期望報酬（假設為r），即這就是財務上著名的Black-Scholes-Merton偏微分方程式。這個類似量子力學上薛定愕方程（Schrdinger equation）的偏微分方程式，可以物理學上的反應-傳達-擴散(reaction-convection-diffusion)來解釋。第一部分是類似熱傳導偏微分方程式中的V對S的二次微分與其對t的一次微分之間的平衡，可視為擴散項（diffusion）：唯一和熱傳導偏微分方程式中的擴散項不同的是，V對S的二次微分前面的係數是的S函數，這在物理學上可以解釋為熱傳導的介質具有非同
16、質性(Non-homogeneity)。第二部分是V對S的一次微分，可視為傳達項（convection）：如果這個方程式代表某種物理系統，譬如煙粒子在空氣的運動，則此傳達項表示微風將煙粒子吹往特定方向的效果。最後一部分可視為反應項，此項和時間導數之間的平衡，可決定半生命週期與r相關的放射性物體衰退模型。整體來看，這就是個完整的反應-傳達-擴散(reaction-convection-diffusion) 模型，事實上，Black-Scholes-Merton偏微分方程式就像是污染物隨著河流擴散，並有部分被河底泥沙吸收的物理模型：水中的擴散為擴散項、水流為傳達項、河底泥沙吸收為反應項。值得一提的是，在推導Black-Scholes-Merton偏微分方程式的過程中，我們隱含了一個重要的假設，那就是個別資產與投資組合的交易成本為零。一個假設沒有交易成本的財務世界，與一
