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1、最新高考数学复习资料第7讲导数的应用问题函数的单调性、极值、最值问题例8已知函数f(x)(xR)，其中aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值审题破题(1)直接求f(x)，得f(2)后写出切线方程；(2)求导函数f(x)后要对a进行讨论，可以列表观察函数f(x)的单调性，极值解(1)当a1时，f(x)，f(2)，又f(x)，f(2).所以，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(x2)，即6x25y320.(2)f(x).由于a0，以下分两种情况讨论当a0，令f(x)0，得到x1，x2a.当x变化时，f(x)
2、和f(x)的变化情况如下表：x(，)(，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在区间，(a，)内为减函数，在区间内为增函数函数f(x)在x1处取得极小值f，且fa2.函数f(x)在x2a处取得极大值f(a)，且f(a)1.当a0时，令f(x)0，得到x1a，x2，当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在区间(，a)，内为增函数，在区间内为减函数函数f(x)在x1a处取得极大值f(a)，且f(a)1.函数f(x)在x2处取得极小值f()，且fa2.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，a
3、)，单调递减区间为(，)，(a，)，极大值为1，极小值为a2.当a0f(x)1 (x0)根据题意，有f(1)2，所以2a2a30，解得a1或a.(2)解f(x)1 (x0)当a0时，因为x0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得xa；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0xa.所以函数f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减当a0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得x2a；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0x0，使得|g(x)g(x0)|0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由审题破题(1)先求出f(x)，再求g(x)，然后讨论g(x)的单调区
4、间，最值；(2)可构造函数h(x)g(x)g，通过h(x)的单调性比较g(x)，g的大小；(3)对任意x0若不存在x0，只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解决解(1)由题设易知f(x)lnx，g(x)lnx，所以g(x)，令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0.故(1，)是g(x)的单调增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)glnxx，设h(x)g(x)g2lnxx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g，当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减，当0xh(
5、1)0，即g(x)g，当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)0，使|g(x)g(x0)|0成立，即对任意x0，有lnxg(x0)0，使|g(x)g(x0)|0成立构建答题模板第一步：构造函数h(x)g(x)g()；第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h(x)的单调性；第三步：根据h(x)的单调性比较h(x)和0的大小；第四步：下结论，反思回顾.对点训练9已知函数f(x)ax2bxclnx.(1)当ab时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)在x，x1处取得极值，且f(1)1，若对任意的x，f(x)m恒成立，求m的取值范围(参考数据：e2.7)解(1
6、)ab时，f(x)ax2axclnx，f(x)2axa (x0)当a0时，f(x)0，此时f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，x0，2ax2ax10，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0，故在(0，)上，函数g(x)的符号不确定，即此时f(x)的符号不确定，函数f(x)在(0，)上不单调综上可知，a的取值范围是0，)(2)f(x)在x，x1处取得极值，f(1)f0，即解得即f(x)，且f(x)x23xclnx.又f(1)1，13c1，得c1，f(x)x23x1lnx.当x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)在(1,2上单调递增f(x)极大值f1lnln2，而f(2)1ln2，f(2)fln4ln4lne，由于4ee，故f(2)f，f(x)max1ln 2，m1ln 2.
