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1、楚雄师范学院数学系课程教案(数学分析 (三),周学时 6 节)周第 8 周 (2008.10.13-2008.10.19)次课第十八章隐函数定理及其应用习题课题学2 学时时教学一 . 隐函数的基本知识点内容二 . 隐函数中的基本方法（主要）教1. 深刻理解并掌握隐函数的基本知识点学2. 熟练掌握隐函数中的基本方法目标教学重点教学难点教学方法与手段1. 隐函数的基本知识点2. 隐函数中的基本方法1. 隐函数的基本知识点2. 隐函数中的基本方法1. 分析教学方法 、对比教学方法、讨论教学方法、综合教学方法.2. 借助多媒体辅助教学 .隐函数定理及其应用习题课一 . 隐函数基本知识点( 一 ). 函
2、数行列式的性质定理 1.uux, yxxs,t若函数组vx, y有连续偏导数 , 函数组y也有连续偏导vys, t教数, 则学u, vu, vx, y进s,tx, y.s, t程uux, yu,v( 教定理 2.0 , 则存在有连续偏导数的反若函数组有连续偏导数, 且学设vvx, yx, y计 )xxu, vx, y1函数组y, 且u, vu,vyu, vx, y( 二). 隐函数1. 隐函数的概念定 义设 方 程 F x, y0 , 若 任 给 x IR , 通 过 方 程 F x, y0有唯一的y x R , 使得 F x, y x0 , 则方程 F x, y0 确定了 I 的一个函数 ,
3、称此函数是方程1Fx, y0 确定的隐函数 , 记为 yy x , xI .2. 1元隐函数的存在性定理定理 1(1元隐函数的存在性定理 ) 设R2(1) Fx, y 在以 P0 x0 , y0 为内点的某区域 D内连续 ,(2) F x0 , y0 0 ,(3)Fxx, y , Fyx, y在 D 连续 , 且 Fyx0 , y00,则在 P0x0R 的某邻域 UP0R内,方程F x, y0 确定唯一的隐函数yf x , xx0, x0,使得(1)y0fx0, , xx0, x0时 , x, fxUP0, 且 F x, f x0.(2)yfx在 x0, x0内连续 .(3)yfx在 x0,
4、x0内有连续导数 , 且 fxFxx, yFyx, y【注】(1)定理 1的条件仅仅是充分条件, 不是必要条件 . 如 , y3x30, 在0,0 不满足 Fy0.00, 但在0,0的邻域确定唯一的连续隐函数y x .(2) 将条件(3)Fyx, y 在 D 连续 , 且 Fyx0 , y00 换成条件(3)Fxx, y 在 D 连续 , 且 Fxx0 , y00则方程 Fx, y0 确定唯一的隐连续函数xx y , yy0 , y0.(3)在定理证明过程中 , 条件 (3) 只是用来保证存在P0 的某一邻域 , 在该邻域内 F x, y关于变量y 是严格单调 . 该定理证明过程说明 : 可将
5、这两个条件减弱为“F x, y 在 P0 的某邻域内关于y 严格单调” .课后教学总结2. n 元隐函数的存在性定理定理 2( n 元隐函数的存在性定理) 设(1)F (x1, x2 ,., xn , y) 在以 P0x10 , x20 , xn0 , y0为内点的某区域 D(2)Fx10, x20 , , xn0 , y00 ,(3)Fxii 1,2,., n, Fy 在 DRn 连续 , 且 Fyx10 , x20 , xn0 , y0则在 P 的某邻域 U (P0)DRn 1 内 , 方程 F ( x1 , x2,., xn , y)0在P00邻域 U (P0)Rn 内确定唯一的隐函数y
6、fx1 , x2 , xn , 使得(1)y0fx10 , x20 , xn0, 当 x1 , x2 , xnU (P0)Rn 时 ,x1 , x2 , , xn , f x1 , x2 , , xnUP0,且 F x1 , x2 , , xn , y x1 , x2 , , xn0 .(2)yfx1 , x2 , xn在U (P0 )Rn 内连续 .(3)yfx1 , x2 , xn在U (P0 )Rn 内有连续偏导数 , 且f x x1, x2 , xnFxix1, x2, , xn , yi1,2,., nFyx1, x2 , , xn , yiRn 内连续 ,0 ,x10 , x20
7、, x0n的某2( 三 ). 隐函数组定理1. 隐函数组定义定义 . 设有函数组Fx, y, u, v0,V4(*)G x, y, u, vx, y, u, vR0.若任给x, yDR2, 存在唯一数组 u, vDR2, 则此函数组在D 上定义了两个函数u ux, y , vvx, y, x, yD , 称它们是函数组(*) 确定的隐函数组, 记为uu x, y ,vv x, y .2. 隐函数组定理定理 3( 2 元隐函数的存在性定理F x, y, u, v0,G x, y, u, v0.若x, yDR2)设x, y, u, vVR4(*)(1)F ( x, y,u,v), G (x, y,
8、 u, v) 在以 P0x0 , y0 ,u0 , v0 为内点的某区域 V(2)F x0 , y0 ,u0 , v00 ,Gx0 , y0 , u0 , v00 ,(3)F ,GF ( x, y,u,v), G (x, y, u, v) 在 V 内有连续偏导数 , 且 Ju,vP0则在的某邻域04内方程组的某邻域 U (Q)PR(*)在 Q0 x, y0U(P) V,0R2 内确定唯一的隐函数组R4 内连续 ,0 .Duf x, y ,x, y U (Q0 ) D R2vgx, y .使得(1)u0fx0 , y0, , 当 x, yU(Q0)DR2 时 , x, y, fx, y , g
9、x, yv0g x0 , y0 .UP0,且Fx, y, fx, y, gx, y0,Gx, y, fx, y, gx, y.0.(2)ufx, y ,vgx, y在U(Q )DR20内连续 .(3)ufx, y ,vgx, y在U (Q0)DR2 内有连续偏导数 , 且u1F ,Gv1F, GxJx, v,xJ,u, xu1F ,Gu1F , GyJy,v,xJ.u, y【注】(1).定理 1的条件仅仅是充分条件 , 不是必要条件 .(2).将条件 (3)F ( x, y, u, v), G (x, y, u, v) 在 V内有连续偏导数 , 且 JF , G0u, vP0换成3条件 (3)F (x, y,u, v), G ( x, y, u,v) 在 V 内有连续偏导数F , G, 且 Jx, y0
