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1、存档日期： 存档编号： 本科生毕业设计（论文）向量法在中学数学解题中的应用论 文 题 目姓 名： 邢 磊 学 院： 数 学 与 科 学 学 院 专 业： 数学与应用数学（师范） 年 级 、 学 号： 11数11 11211059 指 导 教 师： 徐 旭 峰 江苏师范大学教务处印制6目录向量法在中学数学解题中的应用2一、向量法概述2二、 向量法在中学代数题中的应用41.在代数证明题中的应用42.在代数计算题中的应用5三、向量法在几何题中的应用51. 在平行问题中的应用62. 在垂直问题中的应用63.在夹角问题中的应用84. 在距离问题中的应用9四、总结10参 考 文 献10XINGLEI11向
2、量法在中学数学解题中的应用摘要 向量是中学数学学习中的一个重要知识点。运用向量法解题是中学数学解题教学中的一个难点。本文首先归纳总结了向量的定义和向量运算的有关性质,然后运用向量的数量积、向量积、以及模长不等式等性质,结合实例探究了向量法在代数中的证明题、计算题,几何中的平行题、垂直题、夹角题、距离题等中的具体应用,通过普通解法和向量解法的比较,突出向量法解题的规律,发现向量法解题的优势。关键词 向量；向量法；中学数学；解题；应用。向量是既有大小又有方向的量,可以应用向量法解决代数问题和几何问题，向量法是他们解题的共同工具。向量具有数的性质和提点,还同时具有几何的性质与特点,因此向量可以作为一
3、个媒介，将代数问题转化为几何问题,同时还可以将几何问题转化为代数问题.向量被引入中学数学教材后,扩宽了中学数学的知识面，丰富了中学数学解题体系,开放了中学学生解题思路与方法。文献1-3研究了向量法在代数解题中的运用;文献4研究了向量法在解决垂直问题中的运用; 文献5研究了向量法在距离问题解题中的运用;文献6研究了用向量法在解决角度问题中的运用;文献7-9研究了向量法在平行问题解题中的运用;文献10中为向量的概念、运算性质、向量法在几何解题中的应用。这些文献多为单纯的解题,缺少分析过程,不够全面透彻。一、向量法概述定义 l10 既有大小又有方向的量叫向量,或称矢量,简称矢。定义 210 向量的大
4、小叫做向量的模,也称为向量的长度。向量与的模分别记做与。定义 310 两个向量和的模和它们的夹角的余弦值的乘积叫做向量和的数量积（也称为内积）,记做或,即。定义 410 两个向量和的向量积（也称外积）是一个向量,记做或,它的模是,它的方向与和都垂直。定义 510 给定空间的三个向量,如果先做前两个向量与的向量积,再作所得向量与第三个向量数量积,最后得到的这个数叫做三向量,的混合积,记做或或。定理 110 设,那么。定理 210 设,那么。定理 310 设是直线上的一个单位方向向量,线段在上的投影是,则有。定理 410 设空间两个非零向量和,那么它们的夹角余弦是:。推论 110 空间中两向量与相
5、互垂直的充要条件是。定理510 空间任意两个向量和成立不等式:。推论 210 空间任意两个向量和成立不等式:。推论 310 空间任意两个向量和成立不等式:。定理610 对空间任意两个向量,则的充要条件是存在实数使。此定理也称作共线向量定理。定理710 存在唯一实数组,使得(不共线)满足,则共面。定理810 向量加法满足下列运算规律（1） 交换律（2） 结合律（3） 定理910 数量与向量的乘法满足下列运算规律（1） （2） 结合律（3） 第一分配率（4） 第二分配率中学数学中有一些代数题用普通方法去解,过程和计算是很复杂的,很多学生会找不到解题思路,计算过程中出错，而向量运算法具有简单直接的解
6、题优势，很多题型都可以用向量模与向量积的坐标表达形式进行转换,因此构造向量使用向量法能优化我们的解题。二、 向量法在中学代数题中的应用1.在代数证明题中的应用例题： 已知,求证:。分析 普通的做法是通过球的参数坐标解题,即设出和,分别代入放缩化简可得,但代入之后式子变得繁琐复杂,化简的计算量非常大,容易出错。反观向量法，应用向量的模与向量的数量积，构造向量和,利用不等式（定理5），化简即可证明。证明： 构造向量,则由向量模的定义有,。根据定义3有数量积,根据定理5得到,所以命题得证。2.在代数计算题中的应用例题： 求函数的最大值。分析 传统做法是先求出在定义域内的稳定点,即方程的零点,再求出,
7、将求出的零点代入,利用函数极值的充要条件判断得出的极值点并求出的极值,然后求出在端点处的函数值,最后经过比较可确定的最大值.但是要求得的极值点及极值,需要求得的一阶、二阶导函数,题目中含有二次根式,求解过程很复杂,计算量大.观察已知条件发现与均为一次项,若去掉系数,与经过平方可将消掉,这与向量模类似,而正是向量积的形式,首先构造向量,根据定理5,即可求得最大值.解： 构造向量,根据定理2可求得,由于,故可变形为,则根据定理5可得,当且仅当与同向时取等号,此时求得。可验证在定义域内,故函数有最大值。通过上面两个例题的分析,我们发现在运用向量法解代数问题时,主要是利用向量的数量积的几个基本不等式,
8、关键在于仔细观察所求问题的结构特征,然后构造出向量模型。向量法不仅是解题过程变的简单轻松,可以培养和提高学生的观察能力和想象能力,丰富他们的解题思路,增强他们分析问题和解决问题的能力。三、向量法在几何题中的应用向量具有方向性和可移动性,可以简洁地表示出平行、共面、垂直等空间位置关系,这样就可以把空间几何关系抽象转化为向量的运算,在解题思路上较普通的几何法更简洁易懂。1. 在平行问题中的应用中学几何中的平行问题总结为线线平行、线面平行、面面平行三类.应用向量法解决中学几何中的平行问题,解题关键是得出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量,通过讨论两个向量间的共线或垂直关系,确定线面之间的位置关
9、系。线线平行可以用两个向量的共线来证明，证明线面平行,可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直,并说明直线在平面外，从而得到线面平行，而证面面平行则转化为证明两平面的法向量平行。例题： 如图1所示,已知正方形和正方形所在平面交于,点分别是对角线和上的动点,且.求证:。图1分析 几何中的普通做法是取线段上一点,满足,然后连结,证,得到和,再证, 即可证得。而用向量法,此题中要证明,只需求证是共面向量,即可由线性表出,然后说明不在平面内,不需要做辅助线,且证明过程简单。证明： 由定理6可设,其中,因为 所以是共面向量。又因为直线不在平面内,所以。2. 在垂直问题中的应用空间几何中的线线垂直、线面
10、垂直、面面垂直关系,都可以转化为空间中两个向量的垂直问题。解决向量垂直问题的两种常见的方法:一、先通过向量的坐标运算分别求出两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件得出；二、直接利用向量垂直的充要条件,在求解过程运用向量的数量积公式及求模公式得出。这两种方法都能吧解析几何中复杂的位置关系的分析推导转化为运算。例题： 如图2所示,已知在长方体中,底面是边长为的正方形,高为,点分别为的中点。求证:。DBB1D1EFAX图2分析 本题的普通做法是过点作线段的垂线设垂足为，连结,过点作,设垂足为，连结。先求出线段的长,然后由勾股定理求出的长,因为是正方形故可知的长,再由可求中位线的长。进而可求出,根据
11、余弦定理可求,即二面角的大小,从而得证,但是这种做法需要做的辅助线太多,计算量大。而运用向量法,只需证明的法向量与的法向量垂直即可,联想到推论1,两向量与相互垂直的充要条件是,既不用做辅助线，又能省去大量计算。解： 如图2,以长方体一顶点为原点建立空间直角坐标系,则各点坐标为: 假设平面的法向量为,则应垂直于和,由推论1即知,而各点坐标知,代入上式并求解得:,于是。同理在平面中,若设其法向量为,则将各点代入可求得,于是。将代入式子计算得: ,故由推论1知。即。3.在夹角问题中的应用中学数学里夹角问题有两条直线所成的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面所成的夹角。是高中数学教学和解题的一个重难点.
12、向量法在解决这类空间几何问题时凸显出了强大的优势,不需要对角和空间构成进行复杂的平移等转换,只需要找出是所求角的两边所在线段即可,应用两个向量内积或外积公式进行求解。例题： 将两个全等的等边三角形和以为公共边拼成一个四面体,且,如图3所示.其中点分别为棱的中点,图3连接.求异面直线的所成角。分析 求异面直线夹角的普通做法,需连结,取其中点,连结,然后由中位线定理求出、勾股定理求出和“三线合一”定理求出,再根据余弦定理,计算量大且复杂。若运用向量法求解,我们很容易想到应用定理4，即设空间两个非零向量和,那么这两个向量的夹角余弦 ,即求。解： 设,则,。因为, 及,所以 因为,所以,的所成角为 。
13、例题： 双曲线的焦点为,点为其上动点。当为钝角时,求点横坐标的取值范围。分析 关于圆锥曲线的点的取值范围求解的普通做法是分析它的特殊点或临界点,在本题中可先假定为直角，分析情形,通过平面几何知识求得该情况下点距离轴的距离,即点纵坐标,代入方程即求得点横坐标,根据曲线的对称性可得点横坐标的取值范围,思考过程复杂,技巧性太强，易出错。考虑到为钝角等价于式子即两向量的数量积小于零,很自然的能联想到运用向量法。先设点的坐标,表示出并代入,求得不等式,再与原方程联立可求解,简化了做题步骤 ,容易掌握。证明： 设点坐标为,由题意知双曲线的焦点为,则有,因为为钝角的充要条件是,所以代入有,也即.又因为,故联
14、立以上两式立即解得 。又因为双曲线的定义域为,所以所求点横坐标的取值范围为: 。4. 在距离问题中的应用中学数学空间几何中的距离问题有求点和点、点和线、点和面、线和线、线和面、面和面之间的距离。通过运用向量的性质,如摄影定理等,可以表示出空间中的位置关系,从而避免普通解题方法中画辅助线、求二面角的麻烦。图4D例题： 如图4所示,在长方体中, 是线段上一点,且.求顶点到的距离。分析 本题的普通做法是连结,先以为底，为高求三棱锥的体积,然后再求的面积,这样可由三棱锥体积得出在面上的高,既点到的距离,但是计算量大且复杂。若应用向量法,不用作辅助线,思路简单明确。首先求出的法向量,再求出向量,然后根据定理3代入公式，即可求得在法向量上的投影长,即点到的距离。证明： 在图4所示中,以点为原点,建立空间直角坐标系,则对应点的坐标分别为。设是的一个法向量,则,因为,所以根据
