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1、泛函分析复习题 20121 在实数轴R上，令d(x, y) =1 x - y Ip，当p为何值时，R是度量空间， p 为何值时， R 是赋范空间。解：若R是度量空间，所以Vx, y, z e R ,必须有：d(x, z) d (x, y) + d (y, z)成立即 I x - z Ip l x - y Ip + I y - z Ip，取 x = 1, y = 0, z = -1，有 2 p 1 p +1 p = 2，所以，p 1若 R 是赋范空间，d(x,0) =11 x 11=1 x Ip，所以 Vx,k e R，必须有：II kx 11=1 k I - II x II 成立，即 I kx
2、 Ip =1 k II x Ip， p = 1，当p 0，因此 d (x, y) = min(d(x, y),1) 01和 d (x, y)=2d (x,y)1 + d (x, y)0且当 x = y 时 d(x, y) = 0，于是 d 1( x，y) = min( d (x，y)，D =0 和 d 2(xy)=册y) =0以及若d1(x, y) = min( d (x, y E = 0 或 d2 (x, y) = 冷=0均有d(x, y) = 0成立，于是x二y成立2) d(y,x) = d(x, y),因此 d (y, x) = min(d(y, x),1) = min(d(x, y),
3、1) = d (x, y)11和 d 2( y, x) = g =仲=d 2( x, y)3) d(x,z) d(x, y) + d(y,z)，因此d (x, z) = min( d(x, z),1) min d(x, y) + d(y, z),11 0，所以f(x)单增d(x, y)d(y,z)所以 d 2( x, z)=册 1:貯y；:靈z)= +1 + d (x, y) + d (y, z)1 + d (x, y) + d (y, z) n 时均有II x - x II 和00nII y - y II n同时由于y t y，故知y有界，x g H所以II x II有限。因此可 nn取M
4、= sup (II x II,II y II)n1 n因此I (x , y ) - (x, y) I=I (x , y ) - (x, y ) + (x, y ) - (x, y) In nn nnnI (x , y ) - (x, y ) I + I (x, y ) - (x, y) I=I (x - x, y ) I + I (x, y - y) In nnnnnnII x - x II - II y II + II x II - II y - y III M I x - x II + M II y - y II 1成立。1取s = 0（0,丄）u X，则T在S上无界，因此3x G S ,
5、2 2 2 2 2 2使得II Tx II 2成立。2类似地过程一直进行，直到取S = 0（0,丄）u X，则T在S上无界，因此3x g S， n2 nn n n使得II Tx II n成立。n因此，3x g X，使得x T 0，但 II Tx IIt snnn另外，如果有x G X，当x T 0，有II Tx IIt snnn由于在Y上不能找到一点y g Y，使得II Ty 11= s，因此对所有的点y g Y，均无法使得II Ty II=s成立，因此，在条件x T 0下，对 n于所有的点y g Y，II Tx IIt Ty均不成立。所以T在X上的0点不 n是连续的，故T不是连续的。5 .对
6、于每个有界序列（a ），定义线性算子T : Ip T Ip，n（x , x，）It （a x , a x，）1 2 1 1 2 2求 IIT II= ?解：由于（a ）有界，所以有M 0，使得M = sup I a Inn对于 Vx = （x ,x，）G lp ,12II x IIp 二艺| xpii=1从而 I x I p piII Tx IIp = SI a x Ip M ppi iii=1i=1=MpIIxIIpXpII Tx II M II x II，从而II T II 0，有n，使得I a I M - 00n 0可取x（n）= （0,0,snga，）g lp，所以 II x（n）II
7、= 1vnII Tx（n） II p = SI a x I p =I aIppi=1iin0因此II Tx（n） II =I aI= M pn0IIT II M ，由于的任意性，于是有IIT H M成立综上所述有IIT II= M = sup Ia I n n6.我们知道有命题：对于算子序列T，若T T U 0，则Vx G X，nnII T x - Tx IIt 0。此命题的逆命题不成立。n试考虑算子序列T : 12 T 12，nT （x , x , x , x ,） =n 12 nn +1（xi，x 2,，xn，0,）i=n+1解：丄I2)2 1， Vn，故II T T IIt 0 不成立。
8、nn7.设X, Y是线性赋范空间，T : X t Y是线性算子，则G(T)闭，当且仅当Vx g X，使得x t 0，y = Tx t y时，有y = 0。nnn n解：G(T)闭，即有Vx g Xnx t 0，则 3y = T 0 = 0 g Y， n使得 y = Tx t y = 0另外，当Vx G Xnnnx t 0 ，使得 y = Tx t 0nn n因此对于 Vx G X， x t x G X，取 Vz = x x G X，nnn n有 z = x x t 0，nn于是有 Tz = T (x - x) = Tx - Tx T 0,即 Tx T Tx ,n n n n所以G (T)闭8证
9、明c0二11，其中f e c0时有序列d n） w 11使得f (x) =n x , Vx 二(x ) e cn nn 0n=1解：c是所有极限为0的序列全体的集合，范数II x 11= sup lx丨, 0ii在c中取基元集0F = e I e = (0,0,，。丄。,),n = 1,2, n n Kvn则对 Vx = (x , x，,x ,)e c ，有 x = lim 工 x e1 2 n0i inT8 .-i=1设f e C*，记耳=f (e ),i = 1,2,，所以有0iif (x) = f (lim 工xe. )=lim f (Xxe )i ii inT8 . 1nT8 . 1i
10、 =1i =1=lim x f (e ) = lim x n = S x ni ii ii inTa i=1nTg i =1i =1取 x（n）= （e -叫，e-叫，,e-叫,0,），其中 0 = arg n，ii则 x (n) e c0且II x(n) II=1，f(x(n) ) = e -i0inii=1= n In I ，所以ii=1 I n I I f (x(n)III f II - II x(n) IIII f II i令n卄，即得叫匕,弋，）e ”,且 imii二艺m i n f iiii =1再证反向不等式。对% = （Xi, 7，Xn，）e C，对每个叫耳2,，耳n，）e 11定义f（x）=艺xn，则f是c上的线性泛函，且有i i0i=11 f (x) |=| 区 x n | sup 1 x 1 1 艺n i=ii x ii - ii n iii iiii=1ii=1所以f e c；，且ii f iiii n ii。综合两个不等式得ii f ii=ii n ii丄占 T : c * l1,映射 ；f T (f (ej,f (e2)，,f (e ),) = (q，n 2，n ，)12n12 n使得Vx = (x , x，,x ,)e c，有f (x)二乙x n成立12 n；i ii=1则
