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1、东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，则满足的集合B的个数是 （A） (B) (C) (D)（2）已知是实数，是纯虚数，则等于 （A） （B） （C） （D）（3）已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于（A） （B） （C） （D）（4）
2、执行如图所示的程序框图，输出的的值为 （A）（B）（C）（D）（5）若，是两个非零向量，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）已知，满足不等式组当时，目标函数的最大值的变化范围是（A） （B） （C） （D）（7）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为 （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 （8）给出下列命题：在区间上，函数,中有三个是增函数；若，则；若函数是奇函数，则的图象关于点对称；已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为 （A） （B） （C） （D）xy
3、O13y=3x2第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若，且，则 （10）图中阴影部分的面积等于 （11）已知圆：，则圆心的坐标为 ；若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 （12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .（14）定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:；若，；，则 ， 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数（）求的最小正周期及单
4、调递减区间；（）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值（16）（本小题共13分）已知为等比数列，其前项和为，且.（）求的值及数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.（17）（本小题共14分）ABCDENM如图，在菱形中，是的中点， 平面，且在矩形中，（）求证：；（）求证： / 平面；（）求二面角的大小.（18）（本小题共13分）已知，函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最小值（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点（）求曲线的轨迹方程；（）是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理
5、由.（20）（本小题共14分）已知实数组成的数组满足条件：； .() 当时，求，的值；（）当时，求证：；（）设,且， 求证：.东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A（5）C （6）D （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13）乙 （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（） .3分 所以4分 由，
6、得故函数的单调递减区间是（）7分（）因为，所以所以10分因为函数在上的最大值与最小值的和，所以13分 （16）（共13分） 解：（）当时，.1分当时，.3分因为是等比数列，所以，即.5分所以数列的通项公式为.6分（）由（）得.则. . -得 9分 .12分所以.13分（17）（共14分）解：（）连结，则.由已知平面，因为FABCDENMyxz，所以平面.2分又因为平面，所以.4分（）与交于，连结. 由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点.因为是的中点，所以.7分又平面，平面，所以平面. 9分（）由于四边形是菱形，是的中点，可得.如图建立空间直角坐标系，则，, ，.，.10分设平面的法向量为
7、.则 所以 令.所以.12分又平面的法向量，所以.所以二面角的大小是60. 14分（18）（共13分）解：（）当时，所以，.2分因此即曲线在点处的切线斜率为. 4分又，所以曲线在点处的切线方程为，即6分（）因为，所以令，得 8分若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值10分若，则当时，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值12分综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为13分（19）（共13分）解.（）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆3分故曲线的方程为 5分（）存在面积的最大值. 6分因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）则整理得 7分由设 解得 ， 则 因为 10分设，则在区间上为增函数所以所以，当且仅当时取等号，即所以的最大值为13分（20）（共14分）()解： 由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以2分当时，同理得4分（）证明：当时，由已知,.所以.9分（）证明：因为，且.所以,即 .11分).14分
