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1、课时分层作业（二十四）（建议用时：40 分钟）组 基础巩固练一、选择题1.若实数k满足0VkV5，则曲线話总=1与曲线卡土=1的（）A. 实半轴长相等B.虚半轴相等C.离心率相等D.焦距相等D 由于16+（5k） = （16k）+5,所以焦距相等.2.x2若a1,则双曲线矗一y2=1的离心率的取值范围是（）A.C.（/2,+）（1，佰B.（逗,2）D. （1,2）由题意得双曲线的离心率e= Y2+1.aa2+ 1即 e2=1a1,0。，b0）的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则双曲线C 的方程为（）A.X220y2-5-1B.P-y2-120 1C.X2y2-X2y2-8020 1D
2、 20180 1A双x2 曲线C的渐近线方程为-a2-y2 = 0b20,41又点P（2,1）在C的渐近线上，所以a2 b2=0,即a24b2 .又 a2+ b2= c2= 25.由，得b2 = 5, a2=20，所以双曲线C的方程为2q5 =1,故选A.4. 过双曲线02=1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ, F1是左焦点，若FQ = 90。，贝V双曲线的离心率是（）A. V2B. l + /2C. 2+逗D. 3_、Qc2 y2b jB因为IPF2I = IF2F1I,P点满足五磊=1,心=抄202,2cc2a2,即 2ac=b2=c2a2, .2 = e ，又 e0,故 e=1+J2.
3、ex25. 已知双曲线C：3y2=1, O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线 的交点分别为M，N.若AOMN为直角三角形，则MNI = ()3A. 2B. 3C. 2爭D. 4B 根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为F(2,0)，从而得到ZFON=30,所以直线MN的倾斜角为60或120, 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 60， 可以得出直线MN的方程为y=/3(x2), 分别与两条渐近线x和y=一亨x联立,(3求得 M(3,/3) , nI2,3)2(严侗22 +W+*) =3.二、填空题6. (一题两空)若双曲线x2JJ=1的离心率为羽，则实数m=，渐近线方程是
4、.2 y=;2x a2=1, b2=m, e2=| = J =1+m=3, m=2.渐近线方程是y=“Jmx=：0x.7以y=x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为.芍一号=1以y=x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2y2=H0)，代入点(2,0)得入=4, .*.x2y2=4,即44 = 1.8已知双曲线过点(4，羽)，且渐近线方程为y=|x，则该双曲线的标准方程为x214y2=1法一：T双曲线的渐近线方程为y=x,I可设双曲线的方程为x24y2=H0).双曲线过点(4,治164X(；.再)2=4,x2双曲线的标准方程为才y2=1.法二：渐近线y=1x过点(4,2)，而、込V2
5、,x2 y2双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为a2b2=1(a0，b0).由已知条件可得b=10，b0)，则=2 .49因为点A(2,3)在双曲线上，所以玄一瓦=1.联立，无解.y2 x2若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为务一瓦=1(00, b0),a1则 b=2.94VA(2,-3)在双曲线上，五一反=1由联立，解得a2 = 8, b2 = 32.所求双曲线的标准方程为专一3| =1.法二：由双曲线的渐近线方程为y=2x,可设双曲线方程为龙一y2=九(九H 0),VA(2,-3)在双曲线上，4*22(3)2=九，即九=8.所求双曲线的标准方程为一32=1.10. 已知双曲线C：
6、b2=1(a0，b0)的一个焦点是F(2,0),离心率e 2.(1) 求双曲线C的方程；(2) 若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M, N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴 围成的三角形的面积为4,求直线l的方程.解 由已知得c=2， e = 2，所以a=1，b=“J3.所以所求双曲线方程为x2=1.(2)设直线 l 的方程为 y=x+m,点 M(X, y1)，N(x2，y2).y=x+m,联立0,故直线l的方程为y=x士辽B组素养提升练11. (多选题)关于双曲线C1： 4x2-9y2-36与双曲线C2： 4x2 9y236的说法正确的是()A. 有相同的焦点B. 有相同的焦距C.
7、有相同的离心率D. 有相同的渐近线y2 x2x2 y2BD 两方程均化为标准方程为；9 =1和一 =1，这里均有c2=4+9 = 13，所以有相同的2 焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y=3x,故D正确.C的离心率e = 2， C2的离心率e=3，故C错误.12. 设双曲线養一b2=1(ba0)的半焦距为c,且直线l过(a,0)和(0, b)两点，已知原点到直线l的距离为色4，则双曲线的离心率为()B.为；2D2D 直线l的方程为兰+g=1,即bx+ayab = 0，原点到直线l的距离d=虫=字c,a b彳 a2+b2 c 433即 ab =
8、4c2，所以 a2（c2 一a2）=J6c4.4整理得 3e4 16e2+16 = 0，解得 e2=4 或 e2=g,b2又 ba0，所以 e2=1+a22，故 e = 2.13. (题两空)已知椭圆石+勺=1与双曲线了一y2=1的公共焦点为左焦点F1,右焦点f2,点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则IPF1I=, cosZFPF2的值为33因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得ipf1i+ipf2i=6,IPFJ IPF2I = 2羽,解得IPF1I=.6+-3, PFj=&百,又 IF1F2I=4,所以由余弦定理得cos Z F1PF2=IPF2+I
9、PF2I2IFF2I2=12IPFIIPF2I=3.14. 已知双曲线云一京=1(a0, b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是bl b2c22,+x)由题意，知，三/3,则2三3,所以c2a23a2，即c24a2，所以e2=三4，所以 aa2a2e2C组思堆提升练15. 已知椭圆q： xl+y2=i的左右顶点是双曲线c2：莹_着1的顶点，且椭圆q的上顶点到 双曲线C2的渐近线的距离为求双曲线C2的方程；(2)若直线与C1相交于MM2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且OQroQ2=-5,求IMM2I的 取值范围.
10、x2解由椭圆C1：j+y2=1的左右顶点为(一3, 0)，(百,0),可得a2=3，又椭圆C1的上 顶点(0,1)到双曲线C2的渐近线bxay=0的距离为#,由点到直线的距离公式有(+方=今可得b =1，x2所以双曲线C2的方程为yy2=1.(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m,x2代入了一y2=1,消去y并整理得(13k2)x2 6kmx3m23 = 0,要与C2相交于两点，、|1-3k20则应有 136k2m2-4(1-3k2)(-3m2-3)0,J1 330|1+m23k2设 Q1(x1, y1), Q2(x2, y2),则有：x1+x2=6km1-3k2,3 + 3
11、m21-3k2.又OQf OQ2=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) = (1 + k2)x1x2+km(x1 + x2)+m2, f f1又 OQ OQ2=-5，所以有 1-3k2(1+k2)(-3m2-3) + 6k2m2+m2(1-3k2) = -5 整理得 m2=1-9k2,x2将 y=kx+m，代入可+y2= 1,消去 y 并整理得：(1 + 3k2)x2+6kmx + 3m2 3 = 0,要有两交点，则 A=36k2m24(1 + 3k2)(3m2 3)03k2 +1 m2设 M(x3, y3)、M2(x4, y4)，则有:I _ 6km_ 3 m2 3x3
12、 十 x4=l+3k2, x3 x4= l+3k2.所以IM1M2I=；1+k2.；：36k2m24(3m23)(1 + 3k2 (1 + 3k2)2=、；1+k2.一 4(3m2 一 9k2 一 3)(1 + 3k2)2又 m2=19k2,代入有：IMM2I= 1+k2144k2(1 + 3k2)2IM1M2I = 12” ；：k2(1+k2)(1 +3k2)2，令 t=k2,则 tefo, 9令 f(t)=t(1 + t)(1+3t)2f)=1t(1+3)3又 tw(o, 1所以f(t)0在two, 2内恒成立，故函数f(t)在two, 9内单调递增, 故f(t)o, 72，则有IMM2IG(O,颐.
