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1、 专题升级训练 解答题专项训练(函数与导数)1.已知函数f(x)=x2+(x0,aR).(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f(x)在2,+)上为增函数,求a的取值范围.2.设定义在(0,+)上的函数f(x)=ax+b(a0).(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=x,求a,b的值.3.已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0,1)时,f(x)=.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;(3)当取何值时,方程f(x)=在(-1,1)上有实数解?4.已知函数f
2、(x)=ln(x-1)+(aR).(1)求f(x)的单调区间;(2)如果当x1,且x2时,恒成立,求实数a的取值范围.5.已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.6.(20xx浙江,理22)已知aR,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当x0,2时,求|f(x)|的最大值.7.已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中a0,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点
3、,且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证:f(x)g(x)(x0).8.已知函数f(x)=.(1)若函数f(x)在区间(a0)上存在极值点,求实数a的取值范围;(2)当x1时,不等式f(x)恒成立,求实数k的取值范围;(3)求证:(n+1)!2(n+1)(nN*,e为自然对数的底数).#1.解:(1)当a=0时,f(x)=x2,对任意x(-,0)(0,+),f(-x)=(-x)2=x2=f(x),f(x)为偶函数.当a0时,f(x)=x2+(a0,x0),取x=1,得f(-1)+f(1)=20,f(-1)-f(1)=-2a0,f(-1)-f(1),f(-1)f(1)
4、.函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)若函数f(x)在2,+)上为增函数,则f(x)0在2,+)上恒成立,即2x-0在2,+)上恒成立,即a2x3在2,+)上恒成立,只需a(2x3)min,x2,+),a16.a的取值范围是(-,16.2.解:(1)f(x)=ax+b2+b=b+2,当且仅当ax=1时,f(x)取得最小值为b+2.(2)由题意得f(1)=a+b=,f(x)=a-f(1)=a-,由得a=2,b=-1.3.解:(1)f(x)是xR上的奇函数,f(0)=0.设x(-1,0),则-x(0,1),f(-x)=-f(x),f(x)=-,f(x)=(2)设0x1x21,f(x1)-
5、f(x2)=,0x1x220=1,f(x1)-f(x2)0,f(x)在(0,1)上为减函数.(3)f(x)在(0,1)上为减函数,f(x)g(1)0,所以f(x)0,f(x)在(1,+)上是增函数;当0a2时,g(x)=(x-a)2+2a-a20,所以f(x)0,f(x)在(1,+)上是增函数;当a2时,令g(x)=0,得x1=a-1,x2=a+.令f(x)0,解得1xx2;令f(x)0,解得x1x0.()设h(x)=f(x)-a,由(1)知:当a2时,h(x)在(1,+)上是增函数;若x(1,2),则h(x)h(2)=0.所以,当a2时,()式成立.当a2时,h(x)在(x1,2)上是减函数
6、,所以h(x)h(2)=0,()式不成立.综上,实数a的取值范围是(-,2.5.解:(1)f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2=ex-f(0)x+x2f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x,令x=1得f(0)=1.f(x)=f(1)ex-1-x+x2f(0)=f(1)e-1=1f(1)=e,得f(x)=ex-x+x2.令g(x)=f(x)=ex-1+x,则g(x)=ex+10y=g(x)在xR上单调递增,f(x)在R上单调递增,f(x)0=f(0)x0,f(x)0=f(0)x0y=h(x)在xR上单调递增,x-时,h(x)-与h(x)0矛盾.当a+10时,h(x)0xln(a+1),
7、h(x)0x0).令F(x)=x2-x2ln x(x0),则F(x)=x(1-2ln x),F(x)00x,F(x).当x=时,F(x)max=.当a=-1,b=时,(a+1)b的最大值为.6.解:(1)由题意f(x)=3x2-6x+3a,故f(1)=3a-3.又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.(2)由于f(x)=3(x-1)2+3(a-1),0x2,故当a0时,有f(x)0,此时f(x)在0,2上单调递减,故|f(x)|max=max|f(0)|,|f(2)|=3-3a.当a1时,有f(x)0,此时f(x)在0,2上单调递增,故|f(x)|max=max|f(
8、0)|,|f(2)|=3a-1.当0a1时,设x1=1-,x2=1+,则0x1x20,f(x1)-f(x2)=4(1-a)0,从而f(x1)|f(x2)|.所以|f(x)|max=maxf(0),|f(2)|,f(x1).当0a|f(2)|.又f(x1)-f(0)=2(1-a)-(2-3a)=0,故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a).当a1时,|f(2)|=f(2),且f(2)f(0).又f(x1)-|f(2)|=2(1-a)-(3a-2)=,所以当a|f(2)|.故f(x)max=f(x1)=1+2(1-a).当a0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,f(x)=x+2a,g(
9、x)=,依题意得即由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去),则b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a.令h(t)=t2-3t2ln t(t0),则h(t)=2t(1-3ln t),由h(t)=0得t=或t=0(舍去).当t变化时,h(t),h(t)的变化情况如下表:t(0,)(,+)h(t)来源:+0-h(t)极大值于是函数h(t)在(0,+)上的最大值为h()=,即b的最大值为.(2)证明:设F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2ln x-b(x0),则F(x)=x+2a-(x0),由F(x)=0得x=a或x=-3a(舍去).当x变化时,F(x),F(x)
10、的变化情况如下表:x(0,a)a(a,+)F(x)-0+F(x)来源:极小值结合(1)可知函数F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=f(a)-g(a)=0.故当x0时,有f(x)-g(x)0,即当x0时,f(x)g(x).8.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-,由f(x)=0x=1,当0x0,当x1时,f(x)0,则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,函数f(x)在x=1处取得唯一的极值.由题意得a0.因此g(x)=0,则g(x)在1,+)上单调递增,g(x)min=g(1)=2.所以k2,即实数k的取值范围为(-,2.(3)证明:由(2)知,当x1时,不等式f(x)恒成立,即ln x-1=1-1-,令x=k(k+1),kN*,则有lnk(k+1)1-=1-2.分别令k=1,2,3,n,nN*,则有ln(12)1-2,ln(23)1-2,lnn(n+1)1-2,将这n个不等式左右两边分别相加,则得ln12232n2(n+1)n-2=n-2+.故12232n2(n+1),来源:从而(n+1)!2(n+1),nN*.
