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1、韦达定理的应用一. 综述 直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次 方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保 证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理 求解.二. 例题精讲 破解规律例1.已知抛物线C:y2 = 2px(p 0)的焦点为F,过点F的直线一与C交于Z, B两 点，设A(x1，yi),B(x2y2),证明：xix2 =, yiy2 = -p2；点评:当直线恒过x轴上的点(n,0)时,可以考虑设直线方程为尤=my + n，这样联 立方程消去 x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,
2、可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要 注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1：椭圆C:空+疋=1(a彷0)离心率为盛，耳，F2是椭圆的左、右a.2 b231 2焦点，以耳为圆心，V3 + 1为半径的圆和以f2为圆心、V3-1为半径的圆的交点 在椭圆c上.(1) 求椭圆c的方程；(2) 设椭圆C的下顶点为4,直l:y = kx + 3与椭圆C交于两个不同的点M,N，是2否存在实数k使得以AM, AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由.例2.已知双曲线C:一 = l（a0，b）与双曲线可二1的渐近线相同,a2 b26 2且经过点（2,3 ）.（1）求双曲线
3、 C 的方程；（2）已知双曲线C的左右焦点分别为F F，直线l经过F2，倾斜角为3“，1 2 2 4 l与双曲线C交于A,B两点，求的面积.点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标 轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利 用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2:已知椭圆的中心在原点，焦点为FJ2V3, 0），F2（2V3, 0），且长 轴长为 8（I ）求椭圆的方程；（II）直线y = x + 2与椭圆相交于4，B两点，求弦长|4B|.例3：已知双曲线C : - y2 = 1的左右两个顶点是A , A ,曲线c上
4、的动点P Q关4 1 2于x轴对称，直线AP与AQ交于点M，12（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0,2），轨迹D上的点A, B满足EA =X EB，求实数九的取值范围.规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3:已知双曲线C:-二=l(a0,b0)的离心率为2,右顶点为(1,0).a2 b2(1) 求双曲线C的方程；(2) 设直线y = -x + m与y轴交于点P，与双曲线C的左、右支分别交于点q,r ,且LpQ二2，求m的值.|PR三. 课堂练习 强化技巧x2y2X2y2
5、( 3、ia2b21.已知椭圆C: + -1(a b0)过E 1-，且离心率为e =一 一 2(1) 求椭圆C的方程；(2) 过右焦点F的直线1与椭圆交于a,b两点，D点坐标为(4,3)，求直线DA, DB 的斜率之和.2. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 F ，F ，且12|FF |=2,点(1，3)在椭圆C上.1 2 2(1) 求椭圆C的方程；(2) 过F的直线l与椭圆C相交于A, B两点，且 AFB的面积为学，求以1 2 7F为圆心且与直线l相切的圆的方程。23.已知P是圆C : x2 + y2 = 4上的动点，P在兀轴上的射影为P，点M是线段PP的中点，
6、当P在圆C上运动时，点M形成的轨迹为曲线E .(1)求曲线 E 的方程；(2)经过点A(0,2)的直线l与曲线E相交于点C , D，并且AC = 3ad，求 5直线l的方程.四. 课后作业 巩固内化1.已知过抛物线y2 =血的焦点，斜率为2込的直线交抛物线于 A(x,y ),B(% ,y )(x b 0)经过点，离心率为a2 b2( 2 丿2(I) 求椭圆C的方程；(3 (II) 直线l与椭圆C交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点P 0丐V 2丿且|AB| -、疔，求直线l的方程.3.已知F，F为椭圆E：空+ =1(ab0)的左、右焦点，点P(1, 3)在椭圆E1 202 b22上，
7、且 |PF | + |PF 匸4.求椭圆1E的方程;(2)过F的直线l, l分别交椭圆E于A, C和B, D,且l丄1,问是否存在常数1 1 2 1 2入，使得,入，丄成等差数列？若存在，求出入的值，若不存在，请说明理ACBD由4.如图，已知椭圆C :+二=1(ab),其左右焦点为F(1,0)及F (1,0),a2 b212过点F的直线交椭圆C于a,b两点，线段AB的中点为G , AB的中垂线与x 轴和y轴分别交于D, E两点，且|AF1I、|F1F|、|AF；|构成等差数列.(1) 求椭圆C的方程；(2) 记AGFJD的面积为叮,AOED ( O为原点)的面积为S2，试问：是否存 在直线AB
8、，使得12S2 ?说明理由.5.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于P Q两点，线段PQ的长是10, PQ的中点到y轴的距离是4.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点H（-10）作斜率为（t 0)的焦点为F,过点F的直线J与c交于Z, B两 点，设A(x1，yi),B(x2y2)，证明：xix2 =，yiy2 = -p2；分析:设直线人的方程为：x = my + ，与抛物线联立得y2-2pmy-p2 = 0,利 12用韦达定理即可证得；答案:见解析解析:设直线匚的方程为：x = my + ，12X = my + 2厂，联立方程2化简得：y2 - 2pmy -卩
9、2 = 0,易知A0、y2 = 2px所以尹丿2 = _P2，而X1X2 =y2y2 = P2p 2p 4点评:当直线恒过X轴上的点(n,0)时,可以考虑设直线方程为尤= my +仏这样联立方程消去 x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要 注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1：椭圆C:空+ W=1(a彷0)离心率为盛，片,笃是椭圆的左、右 a2 b2312焦点，以&为圆心，V3 + 1为半径的圆和以f2为圆心、V3-1为半径的圆的交点 在椭圆c上.(1) 求椭圆c的方程；(2) 设椭圆C的下顶点为4,直l:y = kx + 3与椭圆C交
10、于两个不同的点M,N，是2 否存在实数k使得以AM, AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由.解析：2d=(V3 + l) + V3-l)(1)由题知亡晁，解得衣应，故b = ,椭圆的方程为y = kx + :、(2)由题意知kH0,联立方程2，整理得：丨- h，兰 + y2 = 13J = 81k2 4(1 + 3k2)15 0 (化简可得A2 )，42g/r让设 I- :. ； 0.故存在k使得以为邻边的平行四边形可以3是菱形，k值为土辰.3例2.已知双曲线C:a2-b2二i(a0，b0)与双曲线宁二1的渐近线相同, 且经过点(2,3 ).(1)求双曲线C的
11、方程;（2）已知双曲线c的左右焦点分别为F f2，直线i经过F2，倾斜角为3“，1 2 2 4 l与双曲线C交于A,B两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求 出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）X2 -琴二 1（2）S二6迈.3AF1ABy2 x232 22解析：（1）设所求双曲线C方程为-万=九，代入点（2,3丿得 -万以，即6 26 2y2 x2所以双曲线C方程为石-迈-（x-2）.设 A（x,y ）,B（x ,y ）1 1 2 2（2） F（2,0）,F（2,0）.直线 ab 的方程为 y 二 12y -（x2）y2“
12、 得 2 x 2 + 4 x - 7 0 满足 A 0.34 由弦长公式得| AB| =X2 一二1=込-32 = 6点 F（一2,0）到直线 AB : X + y - 2 二 0 的距离 d =-2= 22 .所以 S AB I - d - 6 - 2 J2 6 o2.AFjAB 22点评:三角形面积问题，常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标 轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题，常将直线与圆锥曲线方程的联立，利 用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2:已知椭圆的中心在原点，焦点为FJ2V3, 0），F2（2V3, 0），且长 轴长为 8（I ）求椭圆的方程；（II）直线y = x + 2与椭圆相交于4，B两点，求弦长|4B|.解析：（1）椭圆的中心在原点，焦点为FJ2V3, 0），F2（2V3, 0）,且长轴长为
