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1、微积分一复习(第一章-第三章)内容第一章关键词：极限，连续 第二章关键词：导数，微分 第三章关键词：中值定理，洛必达法则，单调性和凹凸性，极值和最值 典型习题1.求函数y r3 x + arcsin(x 1)的定义域.132设函数f (x)满足f (x) + 2f ()=，讨论函数f (x)的奇偶性.xx xx3.已知函数f (x)满足 f (sin -) = 1 + cosx，求 f (cos -).3 x + | x |(2). lim f (x) .xT0+4设函数 f(x)=，求：(1). lim f(x)；5x 3 | x |5.求下列极限：(1). lim(1 +1 +1+A +
2、丄) 52 42n伽士!；x T0+1 COS、； x(2). lim( J xT1 1 x 1 x2n+1(4). lim( i)n ；n* n 12);(5). lim(1 3sin x) 2 csc x ； xT011(7) . lim n(+心8n2 +1 n2 + 2tan x sin x(8) . lim;xT0 x arcsin xxln(1+ x) (10).limxT0sin 3 x + x 2 sin (6). lim xxT02 x1+(9). limns)=1 ；n2 + nn n + n 2 )(12). limx2(丄亠 x T11 ln x x 1 丿丄丄(11)
3、. lim x(2 x 3 x)；x T8(13). lim (in x片.xT+8x2 + ax + b6.已知极限lim= 2，xT2 x 2 x 27.设x T 0时，1 COS a x与x ln(l+ x)是等价无穷小，求常数a的值.8.判断下列函数在指定点处的间断点的类型.1(1). f (x) = J 1 c，x =人x = 2 ；(2). f (x) = _-x2 3 x + 212 x +19.设f (x)在o,2a上连续，f(0)= f(2a),证明：存在eo,a使得f G)= f G+ a).10. 下列各题中均假定f(x0)存在，按照导数的定义，A分别表示什么？f(x -
4、Ax)- f (x ).(1) .设 limo a = A，则 A =；AxtOAxf ( x)(2) .设 lim= A，且 f(o)存在，则 A =；x tO xf (x + h) - f (x - h).(3) .设 limoo = A，则 A =.hTOhf n1)、十、十11. 求曲线y = COSx在点丁，牙 处的切线方程和法线方程.I 3 2丿1(3). y = arctan (5). y = lnx+ /x 2 +112. 求下列函数的导数和微分(1). y = ex 2x ;(2). y = ln(x + x2)；(4). y = f (ex) - ef(x)；(函数 f (
5、x)可导)(6). y = (Sin x)tan x13. 求由下列方程所确定隐函数的导数：(1). sin(x + y) = cos x ln y ；(2). lndx2 + y2 = arctan .x14. 求参数方程/x =1 -sin所确定函数的导数学和二阶导数学.y =e cosOdxdx2“e3 x + b, x 016. 求函数y = ex2的高阶导数y(n).2x17. 证明：当 x 1 时，有 2 arctan x + arcsin三兀.1+ x218. 求函数y = x3 一 3x2 一 9x + 6的单调区间.19. 证明不等式:当x 0时，1 + 2x 、jx +1.
6、20. 求曲线y = x3 -5x2 + 3x + 5的凹凸区间及拐点.21.求函数y = 2x3 -3x2在区间-1,4上的最大值和最小值.222求函数y =在x = 2处的3阶泰勒公式.x -1023.设函数f (x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且f (a)= f (b)= 0，证明：存在 gw(a,b)使广G)+ fG)= 0成立.微积分一复习（第四章-第六章）内容第四章 关键词：原函数，不定积分第五章 关键词：微积分基本定理，定积分，反常积分第六章 关键词：面积，体积，弧长典型习题cos x(2). Jdx ；sin3 xdx(5).3 (4 - x 2)21计算下列定积分：c
7、os2x(1).Jdx;sm x + cos xJ1 + In x j(4). Jdx ；x ln xearcsin x(3). Jdx ；1 x2J1 - x.Jdx ；9 4 x 2x2 arctan x ,(7). Jdx ；(8). J xln xdx ；(9). J e xdx ；1 + x 2(10). J|cosx|dx.0dx(11).J e3厂l，1 x 1 + ln x(12).dxx2 pl + x2(13). J 41 sin 2tdt ；0(14). J 4 ex cos 2xdx ；0(15).J(16).1 ln(1+ x)0 (2 x)2dx ；1 xd x(1
8、7).J 1;01 x 2(18).J+88dxx2 + 2 x + 223456比较积分J 2 ln x dx 和 J 2 (ln x)3 dx 的大小.1 1求函数 f (x) = j sinxln(1+12)dt 的导数.cosxJ，1 + x2dx,邑 J f (x)dx, J 广(x)dx, d J F (x)dx. dx adxJ x e t 2dt求 lim0x sin x设 J f (x)dx 二 ex + x + C，求 J cos x f (sin x) dx.cosx7. 求曲线y =-与直线y = x及x = 3所围图形的面积.x8. 求曲线r二2cos29所围成图形的面积.9. 求由曲线y二x2,y二0,x二4所围图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.10.求极坐标系下曲线r二sin叮(00 兀)的长. k 3丿1112 设函数 y(x)满足2x-tan(y 一x) = J y_xsec2 tdt , 0求变dx设函数f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(x) 0，令F(x)=J xf (t)dt,x - a aa x b，证明：F(x)在(a,b)内单调减少.
