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1、第十六单元 排列、组合、二项式定理和概率一.选择题(1) 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则则不同的选择方案( )A300种 B240种 C144种 D96种(2) 北京财富全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为 ( )ABCD(3) 的展开式中,含x的正整数次幂的项共有( )A4项B3项C2项D1项(4)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目
2、单中, 那么不同插法的种数为 ( )A42 B 96 C 48 D 124(5) 设直线的方程是,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值,则所得不同直线的条数是( )A20B19C18D16(6)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有 ( )A 140种 B 120种 C 35种 D 34种(7) 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品,由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为(
3、 )A96 B48 C24 D0(8) 将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为( )A70B140C280D840(9)四面体的顶点和各棱中点共10个点, 在其中取4个不共面的点, 则不同的取法共有( )A 150种 B 147种 C 144种 D 141种(10) 从数字,中,随机抽取个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于的概率为 ( ) 二.填空题(11)若, 则n的值为 .(12) 一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 .(13)
4、若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .(14) 某班共有40名学生,其中只有一对双胞胎,若从中一次随机抽查三位学生的作业,则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示). 三.解答题(15) 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:能组成多少个没有重复数字的七位数?上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?在中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?在中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?(16) 从1到100的自然数中, 每次取出不同的两个数, 使它的和大于100, 则不同的取法有多少种.(17) 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白
5、球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p () 从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次(i)恰好有3次摸到红球的概率;(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率 () 若A、B两个袋子中的球数之比为12,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值 (18) 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响。()求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;()求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;()假设两人连续两次未击中目标,则停止射击。问:乙恰好射
6、击5次后,被中止射击的概率是多少?参考答案一选择题: 1.B 解析: 甲、乙两人不去巴黎游览,故4人中选1人去巴黎游览有:种情况, 去伦敦、悉尼、莫斯科游览分别有种情况, 则不同的选择方案共有:4543=120种2.A 解析: 先从14名志愿者挑选12名参加接待工作,再从12人中依次挑选早、中、晚三班各4人,则开幕式当天不同的排班种数为=3.B解析: 展开式的通项为故含x的正整数次幂的项即6()为整数的项共有3项,即r=0或r=6或r=124.C解析: 方法一: 分2种情况:(1)增加的两个新节目相连,(2)增加的两个新节目不相连;故不同插法的种数为 方法二:7个节目的 全排列为,两个新节目插
7、入原节目单中, 那么不同插法的种数为5.C 解析: 从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值,取法数为,而当时所得直线重合,故所得不同直线为2=18(条)6.D 解析: 从反面考虑,7人任意选4人的 方法数减去全选男生的 方法数即为所求 故既有男生又有女生的不同的选法共有7.BABP解析: 8种化工产品分4组,对应于四棱锥没有公共点的8条棱分4组,只有2种情况,如图,(PA、DC;PB、AD;PC、AB;PD、BC)DC或(PA、BC;PD、AB;PC、AD;PB、DC)那么安全存放的不同方法种数为2=488.A解析: 不同分组方法的种数为9.D解析: 从10个点中任取4
8、个点有种取法,其中4点共面的 情况有三类。第一类,取出的 4个点位于四面体的 同一个面上,有4种;第二类,取任一条棱上的 3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4顶点共面,有3种。以上三类情况不合要求应减掉,所以不同的 取法共有463=141种10.D解析: 从数字,中,随机抽取个数字(允许重复)组成一个三位数,共有53=125个。若各位数字之和等于,则可取的数字组合有5种,分别为1、3、5;2、3、4;1、4、4;2、2、5;3、3、3;共有19个数,故所求概率为。二填空题: 11. 7 解析: 若,则,故
9、n3=4, n=712. 0.9728解析: 考虑反面简单些,至多2台机床需要工人照看的概率:13. 解析: 若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为 14. 解析: 某班共有40名学生,其中只有一对双胞胎,若从中一次随机抽查三位学生的作业,则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是三解答题(15) 解:分步完成:第一步在4个偶数中取3个,可有 种情况;第二步在5个奇数中取4个,可有 种情况;第三步3个偶数,4个奇数进行排列,可有种情况,所以符合题意的七位数有个 上述七位数中,三个偶数排在一起的有个上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有个上述七位数中,偶数
10、都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空档,共有个说明;对于有限制条件的排列问题,常可分步进行,先组合再排列,这是乘法原理的典型应用(16) 解: 从1,2,3,97,98,99,100中取出1, 有1+100100, 取法数1个; 取出2, 有2+100100,2+99100, 取法数2个; 取出3, 取法数3个; , 取出50, 有50+51100, 50+52100, ,50+100100, 取法有50个. 所以取出数字1至50, 共得取法数N1=1+2+3+50=1275. 取出51, 有51+52100, 51+53100, ,51+100100, 共49个; 取出5
11、2, 则有48个; ,取出100, 只有1个. 所以取出数字51至100(N1中取过的不在取), 则N2=49+48+2+1=1225. 故总的取法有N=N1+N2=2500个. (17) 解:()() (). ()设袋子A中有个球,袋子B中有个球,由,得(18) 解: ()记“甲连续射击4次,至少1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击4次,相当于4次独立重复试验,故P(A1)=1- P()=1-=。答:甲射击4次,至少1次未击中目标的概率为; () 记“甲射击4次,恰好击中目标2次”为事件A2,“乙射击4次,恰好击中目标3次”为事件B2,则,由于甲、乙设计相互独立,故。答:两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为;()记“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件A3, “乙第i次射击为击中” 为事件Di,(i=1,2,3,4,5),则A3=D5D4,且P(Di)=,由于各事件相互独立,故P(A3)= P(D5)P(D4)P()=(1-)=, 答:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是。