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1、逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证：如果方阵A满足Ak=0,那么EA是可逆矩阵,且(E-A)1=E+A+A2+Ak1证明因为E与A可以交换，所以(E-A)(E+A+A2+Ak1)=E-AK,因AK=0,于是得(E-A)(E+A+A+Ak1)=E,同理可得(E+A+A2
2、+Ak1)(E-A)=E,因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1=E+A+A2+AK1.同理可以证明(E+A)也可逆,且(E+A)1=E-A+A2+(-1)K1AK1.由此可知,只要满足AK=0,就可以利用此题求出一类矩阵EA的逆矩阵.0100例2设A=0200,求E-A的逆矩阵00030000分析由于A中有许多元素为零,考虑Ak是否为零矩阵,若为零矩阵，则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.解容易验证0020A2=00600000000006300004A3=，A4=000000000而(E-A)(E+A+A2+A3)=E,所以1126(E-A)1=E+A+A2+A3=261300012.初等
3、变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵R,P2,FS使（1）p1p2psA=I，用A1右乘上式两端，得：（2）p1p2psI=A1比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A1.用矩阵表示（AI）初等行变换为（IA1），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.231例1求矩阵A的逆矩阵.已知A=013125231100125001解AI01301
4、00130101250012311001250011001/613/64/30130100101/23/210011/61/61/30011/61/61/31/613/64/3故A1=1/23/21.1/61/61/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0,则意味着A不可逆，因为此时表明A=0,则A1不存在123例2求A=456.789123100123100解AE=4560100364107890010612701123100036410.000121由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3伴随阵法定
5、理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A11A21.An111A12A22.An2A=AAnA2nAnn其中Aj是A中元素aj的代数余子式.AI1A21矩阵A2A22.An1.A12称为矩阵A的伴随矩阵，记作A3，于是有A1=1-A3.AAnA2n11.Ann证明必要性：设A可逆，由AA1=I，有AA1=I，则AA1=I，所以A0,即A为非奇异.充分性：设A为非奇异，存在矩阵AllA22.An2其中A12.Anna11a12.a1nAnA21.An1a21AB=21a22.a2n117AI2A22.a!2.IAI.an1an2.annAnA2n.AnnA0.010010|A.0
6、=010_=|=岡.|A.1100.A001AlnA2n同理可证BA=I.由此可知，若A可逆，则Ai_1A3.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA1=1来检验.4. 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设An、A22都是非奇异矩阵，且
7、Aii为n阶方阵，A22为m阶方阵Aii00A22A1100A221证明因为A=An0=0A?21X丫X设A1=ZW，于是有ZAl|A22丫Aiw00,所以A可逆.0=In0A2201m其中XA11=In,丫A22=0,ZA11=0,W入2=lm.又因为A11、A22都可逆，用A11A221分别右乘上面左右两组等式得：1X=A111，丫=0，Z=0，W=A2221A1110把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：A11A11A2=A21AkAk4.2.准三角形矩阵求逆221命题设An、A22都是非奇异矩阵，则有A1111A12=A111A11A12A2210A220A
8、221证明因为A11A12l1A11A12=A1100A220l=0A22两边求逆得lA1111A12A11A121=A11100l0A220A22所以A111A12=l11A11A12A1100A220l0A2211A11A111同理可证1A110A21A221A1111A11A21A220A221此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵.是特殊方阵求逆的种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5. 恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA
9、1=E,把题目中的逆矩阵化简掉。100例1计算(A+4ET(4E-A)1(16E-A2)的行列式，其中A=120141解令(A4E)t(4EA)1(16EA2)=DD=(A4E)t(4EA)1(16EA2)=(4EA)t(4EA)1(4EA)(4EA)=(4EA)(4EA)t=(4EA)2.虽然题目中出现了(4E-A)1.但是经过化简之后不再出现此式，因此得2D=4EA=22500.例2已知n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0.求证：A+4国逆并求出A+4E勺逆.证明把A2+2A-3E=(变形为A2+2A-8E=5E即(A+4E(A-2E)=-5E，可得(A+4E(-A/5+2E/5)=E，所以
10、存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使(A+4EB=E由定义得A+4国逆，且(A+4E1=B=-A/5+2E/5.另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不6. 必急于求出逆矩阵利用线性方程组求逆矩阵若n阶矩阵A可逆，则AA1=E，于是A1的第i列是线性方程组从=的解，i=1,2,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B其中B=(b1，b2,bn)T,然后把所求的解的公式中的bb2,bn分别用E1=(1,0,0,0)，E2=(0,1,0,-,0)，En=(0,0,0,1)代替，便可以求得A1的第1,2,n列，这种方法在某些时候可能比初等变
11、换法求逆矩阵稍微简一点.下面例子说明该方法的应用.3100003100例求矩阵A=00310的逆矩阵.0003100003解设乂=(x1,x2,x3,x4,x5)T,B=(b1,b2,b3,b4,b5)T解方程组AX=B,即:3x1x2b13x2x3b23x3x4b33x4x5b43x5b5x135(34b133b232b33b4b5)x234(33b232b33b4b5)解得：x333(32b33b4b5)2x432(3b4b5)x53b5然后把B=(bi,b2,bn)列，分别用Ei=(1,0,0,-,0),E2=(0,1,0,-,0),En=(0,0,0,1)代入，得到矩阵A1的第1，2，
12、3，4，5列，分别用1x1=(31,0,0,0,0)21x2=(32,31,0,0,0)x3=(33,32,31,0,0)x4=(34,33,32,31,0)TJx5=(35,34,33,32,31)T3132333435031323334A1=00313233.0003132000031这种方法特别适用于线性方程组AX=:庄匕较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更
