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1、数学实验结课论文导弹跟踪问题_信息与计算科学_孔雪婷_2012518083实验一 导弹跟踪问题一 实验目的 本实验主要涉与常微分方程.通过实验复习微分方程的建模和求解,介绍两种求解微分方程的数值方法：Euler法和改进的Euler法,还介绍了仿真方法.二 实际问题 某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶.该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导弹的速度为450km/h,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇.试问导弹在何时何处击中敌艇？三数学模型 设坐标系如下,取导弹基地为原点00,0.轴指向正东方,y轴指向正北方.当t=0时,导弹位于O,敌艇位
2、于点0,H,H=120km设导弹t时刻的位置为P,由题意, 4.1其中.另外在t时刻,敌艇位置应该为,其中=90km/h.由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌艇,即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向,故有 4.2 4.3方程4.3初值条件想 x0=0,y0=0 构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题.由4.2得两边对t求导得即有把4.1写为代入上式,就得到轨迹方程.这是一个二阶非线性微分方程,加上初值条件,则初值问题上式分别为4.5,4.6,4.7.就是导弹的轨迹的数学模型.四解析方法方程4.5可以降阶.令,则式4.5化为一介可分离变量方程易得由式4.7得,从而于是有 4.8于
3、是积分又可以得到利用式4.6得,于是导弹轨迹方程为 4.9设导弹击中敌艇于BL,H,以y=H代入4.9得 4.10而导弹击中敌艇的时刻 4.11将数据代入4.10,4.11式,得L=25km, T0.2778h五数值方法1.Euler方法 Euler方法十分简单,就是用差商代替微商,即将代之以,而将代之以.设导弹到达处的时刻为tk,那么得到计算的迭代格式为上式分别为4.154.164.17于是使用MATLAB,编辑文件m4_.m：function m4_1H=120;h=H/n;lamda=90/450;x=0;p=0;y=0:h:H;for i=0:n-1 x=x+h*p; p=p+h*la
4、mda*sqrt1+p2/H-y;endx；pL=xT=x/90输入m4_14得到ans = 0 0 0 0.0500 1.5000 0.1167 5.0025 0.2174 11.5254 0.4221L = 11.5254T =0.1281使用MATLAB,建立m4_2.m：function m4_2k=1;for n=N H=120; h=H/n; lamda=90/450; x0=0;p0=0;for i=0:n-1 x1=x0+h*p0; p1=p0+h*lamda*sqrt/; x0=x1; p0=p1;end L=x1; T=x1/90; k=k+1;endN;L;T键入m4_2
5、得到ans = 4.0000 11.5254 0.1281 8.0000 15.9537 0.1773 12.0000 17.9732 0.1997 24.0000 20.5508 0.2283 48.0000 22.2494 0.2472 96.0000 23.3286 0.2592 120.0000 23.5803 0.2620 240.0000 24.1510 0.2683由方程4.1,4.3解出的表达式,取时间步长,对应时导弹轨迹上点的坐标为,则Euler格式为上式分别为4.214.224.23当计算到即停止,于是,使用matlab,编辑m文件：function m4_3H=120;V
6、e=90;Vw=450;x=0;y=0;T=0;for i=1:10e6 M=Ve*T-x/H-y; x=x+Vw*t/sqrt; y=y+Vw*t/sqrt; T=t+T; if y=H break; endendT;x;yL=xT=x/Ve m4_3 In m4_3 at 6ans = 0 0 0 0.1000 0 45.0000 0.2000 5.3615 89.6795 0.3000 22.6750 131.2155L =22.6750T =0.2519m4_3Warning: Divide by zero. In m4_3 at 6ans = 0 0 0 0.0500 0 22.50
7、00 0.1000 1.0374 44.9761 0.1500 3.4121 67.3504 0.2000 7.6462 89.4484 0.2500 14.8679 110.7580 0.3000 29.1948 128.1070L = 29.1948T =0.32442. 改进的Euler方法改进的Euler迭代式上式分别为4.244.254.264.274.28六 仿真方法设导弹和敌艇在初始时刻分别位于.此时,导弹指向.而在时,导弹的位置,其中,敌艇的位置则为.这时导弹沿方向飞行,的倾角为；在时导弹的位置为.以此方式,当时,导弹的位置为,其中 4.33 4.34 4.35 4.36而敌艇
8、的位置为.如之前一样,当时,仿真停止.这时, 七 实验任务1.应用数学软件MATLAB对问题4.124.14进行数值计算,先运用Euler法,与表4.2以与表4.3的数据比较,并以更小的步长计算结果,再用改进的Euler法计算步长与Euler法相同用改进的Euler方法取步长为0.1和0.05时计算,用MATLAB验证结果.m.文件function m4_5H=120;Ve=90;Vw=450;x=0;y=0;T=0;for i=1:10e6 M=Ve*T-x/H-y; x1=x+Vw*t/sqrt; y1=y+Vw*t/sqrt; T=i*t; x=0.5*x1+x+Vw*t/sqrt1+H
9、-y1/Ve*T-x1.2; y=0.5*y1+y+Vw*t/sqrt1+Ve*T-x1/H-y1.2; if y=H break; endendT;x;yL=xT=x/Ve运行结果： m4_5Warning: Divide by zero. In m4_5 at 6ans = 0 0 0 0.1000 2.6808 44.8397 0.2000 12.5752 88.28680.3000 27.0724 130.2557L = 27.0724T =0.3008m4_5Warning: Divide by zero. In m4_5 at 6ans = 0 0 0 0.0500 0.5187 22.4880 0.1000 2.1060 44.9219 0.1500 5.0982 67.2021 0.2000 10.1610 89.0691 0.2500 19.6565 108.9880 0.3000 24.2409 130.9903L = 24.2409T = 0.2693得到的结果与书上表4.6和4.7结果一致. /
