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1、直线的交点坐标与距离公式教材解读一、要点点拨 1两条直线的交点坐标 （1）基本知识点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系代数表示点直线：点在直线上直线与的交点是方程组的解是 （2）两直线的交点 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组。 若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。 说明：判断两条直线的位置关系，除了用直线的斜率外，还可以利用直线的方程进行判断。 当两条直线的方程组成的方程组无解时，两条直线无交点，所以两直线平行；当两条直线的方程组成的方程组有唯一解时，两条直线有一个交点，所以两直线相交；当两条直线的方程组成的方程组有无数
2、个解时，两条直线有无数个交点，所以两直线重合。 求两条直线的交点坐标，就是将直线的方程联立，解方程组即可，体现了用方程思想研究曲线，用代数研究几何的思想。与相交的条件是或。 2两点间距离公式 设、，则两点间的距离公式为。 说明：（1）特别地，原点与任一点的距离。 （2）公式中，、的位置没有先后之分。 （3）当轴时，；当轴时，。若能确定、的次序，可直接去掉绝对值。 3点到直线的距离 点到直线：的距离为。 说明：（1）使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线方程化为一般式方程。 （2）点到直线的距离是点与直线上点的最短距离。 （3）若直线平行于轴，即时，直线方程为，所以；若直线平行于轴，即时，直线
3、方程为，所以。 4两条平行线间的距离 两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离。 说明：（1）两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，该方法体现了化归思想，即由线线距离到点线距离的转化，当然点线距离也可以化归为点点间的距离来求解。（2）一般地，两平行直线：，：，则与的距离为，在应用该公式时，一定先将两条直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数要保持一致。 二、范例点悟 例1 求过点且与点和距离相等的直线的方程。 分析1：利用点到直线的距离公式建立等式求斜率。 解析1：设直线的方程为，即。 由题意知，即，。 直线的方程为，即
4、； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，也适合题意。 故所求直线的方程为或。 分析2：、两点到直线的距离相等，有两种情况：/；过中点。 解析2：当/时，有，直线的方程为，即。 当过中点时，中点为，直线的方程为。 故所求直线的方程为或。 评注：按常规解法已知一点求直线方程，通常会设点斜式方程，但要注意斜率不存在的情况本题解析2利用数形结合的思想使运算量大为减少。 例2 已知直线经过点且被两平行直线：和：截得的线段长为5，求直线的方程。 分析：可直接设点斜式方程，求与两直线的交点，利用两点间的距离公式求解，但要注意斜率不存在的情况。 解析：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与的交点分别为和，截
5、得的线段长，符合题意。 若直线的斜率存在，则设直线的方程为。 解方程组得； 解方程组得。 由得，解之得，所求的直线方程为。 综上可知，所求的方程为或。 评注：该例应用了直线的点斜式方程，但要考虑到斜率的存在性，应当进行分类讨论，这是解决这类问题最容易忽略的地方。 例3 已知三条直线：，：，：，且与的距离为。 （1）求的值； （2）能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：是第一象限的点；点到的距离是点到距离的；点到的距离与点到的距离之比是：。若能，求点坐标；若不能，说明理由。 分析：求解本题的必须工具是几个公式：平行直线间的距离公式，点到直线的距离公式。对于第（2）问，应解一个由三个条件建立起来的方程组。 解析：（1）可化为，与的距离。 ，。 （2）设点，若点满足条件，则点在与、平行的直线：上，且，即，或。 ，或。 若点满足条件，由点到直线的距离公式有， 即。 ，或。 由在第一象限，不合题意，舍去。 联立方程和，解得 不合题意，舍去。 由 解得。 即为同时满足三个条件的点。 评注：与直线平行的所有直线总能设为的形式，而两条平行直线间的距离除有公式表示外，总能看成是其中一条上的任一点到另一直线的距离，最终化归为点到直线的距离。
