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1、Chapter1电磁现象的普遍规律计算、证明题1. 真空中有一静电场，场中各点，试证明(1)当时，即仅是的函数；(2)当时，是常矢量.【证】（1）由于，且电荷密度，故所以，得即（2）当时，由（1）中的结果，有所以，当时，电场为一常矢量，即均匀电场2. 在一个半径为的介质球内，极化强度矢量沿径向向外，其大小正比于离开球心的距离，试求介质内、外的电荷密度、电场强度和电位移矢量.【解】：利用介质中极化电荷体密度与极化强度的关系时，时，在的球面上，极化电荷体密度由于球内、球面上电荷分布具有球对称性，故电场也具有球对称性，做一半径为的同心球面.由高斯定理得，时，有时，有3. 证明在载有稳恒电流电流的线性
2、介质中，磁化电流分布在介质的不均匀处以及存在自由电流的地方【证】：由于磁化电流密度对于线性介质，代入上式，得又因为是稳恒电流，故，所以4. 在同一空间中存在静止电荷的电场和永久磁铁的磁场，此时可能存在矢量，但没有能流，证明对于任一闭合表面有【证】：利用积分变化关系由于对于静止电荷、永久磁铁产生的电磁场，属于稳恒场，且传到电流，故代入得所以5. 电流稳恒地流过两个线性导电介质的交界面，已知两导电介质的电容率和电导率分别为、和、，交界面上的电流密度分别为和，试求交界面上自由电荷面密度.【解】：在介质的交界面上，自由电荷面密度由于且，其中为介质的电导率，所以，得到代入，得式中、是电流密度在界面处的法
3、向分量由于电流稳恒，满足，在界面上有，即所以界面上自由电荷面密度6.已知一静电场，其中是实数，设某一时刻，在点沿轴方向把带电粒子注入到此电场中，带点粒子的质量为，电荷电量为，注入的初速度为，求粒子的运动方程的解，并说明所得的解得物理意义.【解】带电粒子运动时满足沿方向的分量方程分别为由已知条件，时，利用这些初始条件，解得，式中7. 用高斯公式证明【证】用非零的任意常矢量点乘上式左边得根据矢量分析公式令其中的，便得因此（1）式左边又由高斯公式有所以因为为非零的任意常矢量，故得8.用斯托克斯定理证明，式中为常矢量.【证】由矢量分析公式有令，则由斯托克斯公式和上式得9.设电磁场的能量密度为，能流密度
4、为.试由麦克斯韦方程证明：对于各向同性的绝缘介质来说，【证】对绝缘介质来说，电导率为，这时麦克斯韦方程为由矢量分析公式得将（1）（2）两式代入上式得对于各向同性的介质来说，电容率和磁导率都是常量，故有将（4）（5）两式代入（3）式便得所以10.由麦克斯韦方程组出发，求电导率为、电容率为的均匀介质内部自由电荷量与时间的关系【解】设在这介质内部，由于某种原因，在时刻，有自由电荷分布，电荷量的密度为；到时刻，电荷量的密度变为，则由麦克斯韦方程组得求解，并利用初始条件便得当时，。这表明，在静电平衡是，电导率的均匀介质内自由电荷量密度为零.11.试由麦克斯韦方程组导出电荷守恒定律.【解】12若磁单极子存
5、在，且静止磁荷之间的相互作用力遵守磁库仑定律，式中和分别是两个磁单极子的磁荷.（1）试求磁荷量的单位；（2）磁荷量为的磁单极子处在磁场中时，它的受力公式是还是？（3）试写出符合磁荷量守恒的麦克斯韦方程组.【解】由题给的磁库伦定律，得磁荷量的单位为故得的单位为1（2）磁库伦定律中的单位为这是磁场强度的单位，故知在磁场中的受力分析为（3）磁单极子存在时的麦克斯韦方程为式中为磁荷量密度，为磁荷流密度.由电荷量守恒定律知磁荷量守恒定律为根据矢量分析公式，由（2）（3）两式得可见（1）（2）（3）（4）式是满足磁荷量守恒的麦克斯韦方程组.13. 在空间有互相垂直的均匀电场和均匀磁场， 沿轴方向，沿轴方向
6、.一电子(质量为，电荷量为)开始从原点出发，以速度向轴方向前进，如图所示.试求电子运动的轨迹.【解】 已知时， 电子的运动方程为 解（1）式并用初始条件得 这表明电子在平面内运动.将（2）式对时间积分，并利用初始条件得 将上式代入（3）式便得 解得 利用初始条件定出常数和，便得将上式的代入（5）式得 积分并利用初始条件得（4）式、（6）式和（7）式表明，电子的轨迹是y-z平面里的一条摆线（旋轮线）.14.大平行板电容器充电后，两板板间产生一均匀电场；另有一均匀磁场和垂直，如图（1）一电子(质量为，电荷量为)从负极板出来，初速很小，可当做零.不计重力.试证明：当两极板间的距离时，它不可能到达正极
7、板.【解】取坐标如图（2）电场和磁场便为电子的运动方程为将（2）式积分并利用初始条件得将（3）式代入(1)式得求解并利用初始条件得的最大值为 （因为）当时，电子就不可能达到正极板.15.极子的电偶极矩为，如图（1）所示，试求它在处的点所产生的电势和电场强度.【解】 电偶极矩在点产生的电势，就是它的正负电荷在点产生的电势之和，设，则它在点产生的电势便为 式中参看图（2） 根据电偶极子的定义，,故上式中的项可略去，即所以=写成矢量形式即这就是电偶极子产生的电势的标准形式.由可求得电偶极子所产生的电场强度为 因为故（1）式可化为这就是电偶极子产生的电场强度的标准形式.Chapter2静电场1. 【】
8、设真空中的电势为求相应的电荷分布.【答案】根据对区域，对区域，由此可见电荷应分布在半径为的球面上，设密度为，2. 【】两块无限大平行板间距为，电势分别为0和，若两板间，是由板算起的距离.(1) 用泊松方程求空间;(2) 求平板上的电荷密度.【答案】解：（1）设板间电势为，则满足由于电势只与有关，方程（1）化为代入（2）（3）中确定系数两板间电势（2）对处的板，电荷密度为对处的板，电荷密度为3. 【】有两个接地无穷大导体板橡胶，在它们围成的空间内有一点电荷，离两个板距离都是，求出该空间电势分布.答案：解：此题属于有两个边界条件下的一个点电荷，设两导体间电势为，并以所在的与导体板垂直的平面为平面，
9、如图所示，点电荷的位置坐标为.为使两导体板电势为零，在空间放置五个像电荷. ，位于处；，位于处；，位于处；，位于处；，位于处；其实及五个像电荷正好唯一半径为的一个圆周上.并且将圆周六等分，这样两板的电势均为零，边界条件已经满足，板间点电势等于及五个像电荷电势的叠加式中、为及到长点的距离，可用坐标表示.4. 【】一点电荷位于两个均匀无限大的介质的分界面上，介质的电容率分别为和，求空间场的分布.答案：解：以为原点建立球坐标系，设两种介质中电场为在两种介质分界面上，电场及电位移矢量满足，即，即由于尝试解在分界面处是切向的，显然尝试解（1）式满足（2）、（3）式，作一个以为球心，半径为的球形高斯面，利
10、用，得到其中、分别是两介质中的半球面，将（1）式代入积分，得因此介质中的电场为由（4）式出发也可得到周围的极化电荷总量.由于所以5. 【】在电容率为的均匀介质中，挖出一半径为的球形空腔，球心处放一电偶极子.试求：(1)空间各处的电势分布;(2)球形壁上的电荷面密度.答案：解：以偶极子中心为原点，以方向为轴建立坐标系，设球内、外电势为、，它们可表示为、满足的边值问题为由于电势具有轴对称性，且，所以代入（3）-（6）式确定其中系数于是，得球壁上得极化电荷面密度计算得6. 【】不接地导体球壳，内外半径分别为和，腔内有一点电荷距球心为，壳外有一点电荷距球心为，求腔内和壳外电势. 答案：解：对球壳的空间
11、，设电势为，边界条件为如图在空腔内 距球心为处放置像电荷，在球心处放，才能使（1）式满足，因此其中、分别为、到场点的距离.导体球壳电势对球内空腔空间，设电势，满足的边界条件为由于，对于满足，因此在球外空间放置一像电荷，距球心为，这样可使，于是腔内电势为式中、分别为、到腔内场点的距离.7【P1002.2】试论证：在没有电荷的地方，电势既不能达到极大值，也不能达到极小值.【解】在真空中，电势满足泊松方程，在笛卡尔坐标系中，这个方程为在没有电荷的地方，故如果为极大，这不满足（1）式.可见，处不能有极大值.如果为极小，这也不满足（1）式，可见，处不能有极小值。在介质中，如为均匀介质，这电势满足式中是自
12、由电荷量密度，是介质的电容率.在没有自由电荷的地方，（2）式变化为（1）式，这是仿前面的分析可得，在这样的地方，电势既不能有极大值也不能有极小值。因为在均匀介质中，极化电荷面密度为故在处，.即，无自由电荷处，也无极化电荷.如果介质为非均匀介质，则电势满足下列方程：在没有自由电荷的地方，故得在有极大值或极小值的地方，应有这时（3）式便化为（1）式。仿前面的分析，同样可得：在没有电荷的地方，电势既不能有极大值也不能有极小值。8【P1012.3】一平行板电容器两板板间距相距为，其间为空气；已知一极板电势为零，另一极板电势为.略去边缘效应，试由拉普拉斯方程，求两极板间的电势，并由求电场强度和两极板上电
13、荷量的面密度。【解】以电势为零的极板的表面为平面，取笛卡尔坐标系如图所示，两极板间的电势满足拉普拉斯方程由对称性可知，与，无关，故上式化为解得利用边界条件时；时，定出上式中系数和，便得由电势得两极板间的电场强度为式中是方向上的单位矢量.上式表面，两极板间的电场是向下的均匀电场.由高斯定理得两极板上的电荷量面密度分别为和9【P1072.8】两个无穷大平行导体平面，相距为，电势都是零.它们之间有一条无穷长均匀带点直线，单位长度的电荷量为。这带电直线与导体平面平行，到一面的距离为，如图所示.试求两导体平面间的电势。【解】以一导体平面为平面，取笛卡尔坐标系，使带点直线通过轴并与轴平行，如图所示。根据对称性克制，两面间的电势与坐标轴无关，故本题可化为二维问题。除去，一点，满足拉普拉斯方程用分离变数法求解，令代入（1）式得考虑到边界条件，令，解得下面由边界条件定系数、和。因和时，故得。对于来说，由于在处有线电荷，所以要分开来考虑。令处的电势为，处的电势为，则当 时，；当 时，。故知式中系数，于是得又当，时，是连续的，故得，下面用，处的边界条件定的值。设平面上电荷量的面密度是为，则有但实际上在处不是面电荷，而是线电荷。我们可以把这线电荷看作是的面电荷，式中代表函数
