《第二章连续时间傅里叶变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章连续时间傅里叶变换（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积。(2) 傅里叶级数数：正交交函数线线性组合合。正交函数集集可以是是三角函函数集或或复指数数函数集集，函数数周期为为T1，角频频率为。(3) 任何满足狄狄义赫利利条件周周期函数数都可展展成傅里里叶级数数。(4) 三角形式的的FS：(i) 展开式：(ii) 系数计算公公式：(a) 直流分量：(b) n次谐波余余弦分量量：(c) n次谐波的的正弦分分量：(iii) 系数数和统称为为三角形形式的傅傅里叶级级数系数数，简称称傅里叶叶系数。(iv) 称
2、为信号的的基波、基基频；为为信号的的n次谐波波。(v) 合并同频率率的正余余弦项得得：(a)(b)和分别对应应合并后后n次谐波波的余弦弦项和正正弦项的的初相位位。(vi) 傅里叶系数数之间的的关系：(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(5) 复指数形式式的FSS：(i) 展开式：(ii) 系数计算：(iii) 系数之间的的关系：(iv) 关于n是共共扼对称称的，即即它们关关于原点点互为共共轭。(v) 正负n (n非零)处的的幅幅度和等等于或的幅度度。(6) 奇偶信号的的FS：(i) 偶偶信号的的FS：；(实，偶偶对称)；(iii) 偶偶的周期期信号的的FS系数数只有直直流项和和余弦项项。
3、(iiii)奇奇信号的的FS：；(纯虚，奇奇对称)；(iv) 奇的周周期信号号的FSS系数只只有正弦弦项。(7) 周期信号的的傅里叶叶频谱：(i) 称称为信号号的傅里里叶复数数频谱，简简称傅里里叶级数数谱或FFS谱。(ii)称称为信号号的傅里里叶复数数幅度频频谱，简简称FSS幅度谱谱。(iii)称为傅里里叶复数数相位频频谱，简简称FSS相位谱谱。(iv)周周期信号号的FSS频谱仅仅在一些些离散点点角频率率(或频率率)上有值值。(v)FSS也被称称为傅里里叶离散散谱，离离散间隔隔为。(vi)FFS谱、FSS幅度谱谱和相位位谱图中中表示相相应频谱谱、频谱谱幅度和和频谱相相位的离离散线段段被称为为谱
4、线、幅幅度谱线线和相位位谱线，分分别表示示FS频谱谱的值、幅幅度和相相位(vii)连接谱谱线顶点点的虚曲曲线称为为包络线线，反映映了各谐谐波处FFS频谱谱、幅度度谱和相相位谱随随分量的的变化情情况。(viiii)称为单边边谱，表表示了信信号在谐谐波处的的实际分分量大小小。(ix)称称为双边边谱，其其负频率率项在实实际中是是不存在在的。正正负频率率的频谱谱幅度相相加，才才是实际际幅度。(8) 周期矩形脉脉冲序列列的FSS谱的特特点：(i) 谱线包包络线为为Sa函数数；(ii) 谱线包络线线过零点点：(其中为谱谱线间隔隔)：，或，即当时，。(iii) 在频域，能能量集中中在第一一个过零零点之内内。
5、(iv) 带宽或只与与矩形脉脉冲的脉脉宽有关关，而与与脉高和和周期均均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)(9) 周周期信号号的功率率：(10) 帕斯瓦瓦尔方程程：2 非周期期信号的的频谱分分析傅里叶叶变换(FT)(1) 信号f (t)的傅里里叶变换换：是信号的频频谱密度度函数或或FT频谱谱，简称称为频谱谱(函数)。(2) 频谱密度函函数的逆逆傅里叶叶变换为为：(3) 称为FT的的变换核核函数，为IFT的变换核函数。(4) FT与IFFT具有有唯一性性。如果果两个函函数的FFT或IFTT相等，则则这两个个函数必必然相等等。(5) FT具有可可逆性。如如果，则则必有；反之亦亦然。
6、(6) 信号的傅里里叶变换换一般为为复值函函数，可可写成(i) 称为幅度频频谱密度度函数，简简称幅度度谱，表表示信号号的幅度度密度随随频率变变化的幅幅频特性性；(ii) 称为相位频频谱密度度函数，简简称相位位谱函数数，表示示信号的的相位随随频率变变化的相相频特性性。(7)FFT频谱谱可分解解为实部部和虚部部：(8)FT存在在的充分分条件：时域信信号绝对对可积，即即。注意：这不不必要条条件。有有一些并并非绝对对可积的的信号也也有FTT。(9) FT及IFFT在赫赫兹域的的定义：；(10) 比较FS和和FT：FSFT分析对象周期信号非周期信号号频率定义域域离散频率，谐谐波频率率处连续频率，整整个频
7、率率轴函数值意义义频率分量的的数值频率分量的的密度值值3 典型非非周期信信号的FFT频谱谱(1) 单边指数信信号：幅度谱：相位谱：单边指数信信号及其其幅度谱谱、相位位谱如图图1所示。图1 (aa)单边边指数信信号 (b)幅幅度谱 (c)相位谱谱(2) 偶双边边指数信信号：，为实偶函函数。幅度谱：相位谱：偶双边指数数信号及及其频谱谱如图22所示。图2 (aa)偶双双边指数数信号 (b)频谱(3) 矩形脉脉冲信号号： (脉宽宽为t、脉脉高为EE)，为实函数数。幅度谱：相位谱：矩形脉冲信信号及其其频谱如如图3所示。图3 (aa)矩形形脉冲信信号 (b)频频谱矩形脉冲FFT的特特点：(ii) FT为为
8、Sa函数数，原点点处函数数值等于于矩形脉脉冲的面面积；(iii) FT的的过零点点位置为为；(iiii)频域的的能量集集中在第第一个过过零点区区间之内内(iv) 带宽为为或，只与与脉宽有有关，与与脉高EE无关。信号等效脉脉宽：信号等效带带宽：图4 (aa)信号号的等效效脉宽 (b)等效带带宽(4) 符号函函数：不满足足绝对可可积条件件，但存存在FTT。幅度谱：相位谱：符号函数及及其频谱谱如图55所示。图5 (aa)符号号函数 (b)频谱(5) 冲激信信号：均匀谱/白白色谱：频谱在在任何频频率处的的密度都都是均匀匀的。强度为E的的冲激函函数的频频谱是均均匀谱，密密度就是是冲激的的强度。单位冲激信
9、信号及直直流信号号的频谱谱函数总总结：FT定义FT可逆性性FT可逆性性IFT定义义(6) 阶跃信信号：不不满足绝绝对可积积条件，但但存在FFT在处有一个个冲激，该该冲激来来自中的的直流分分量。单位阶跃信信号及其其幅度谱谱如图66所示。图6 单位位阶跃函函数及其其幅度谱谱4 FT的的性质(1) 线性性：线性性包括括：齐次次性；叠叠加性。(2) 奇偶虚实性性：偶偶奇奇实偶实偶 (FTT可变为为余弦变变换)实奇虚奇 (FTT可变为为正弦变变换)实信号的FFT：(实信号号可分解解为：实实偶+实奇)实部是偶函函数，虚虚部是奇奇函数：实实偶偶+j实奇奇偶共扼对称称：幅度谱为偶偶函数，相相位谱为为奇函数数：
10、实实偶EXXP(实实奇)虚信号的FFT具有有奇共扼扼对称性性：偶共轭对称称或奇共共轭对称称的函数数满足幅幅度对称称：。实信号或虚虚信号的的FT幅度度谱偶对对称，幅幅度谱函函数是偶偶函数。(3) 反褶和共轭轭性：时域频域原信号f(t)F(w)反褶f(-t)F(-w)共扼f *(tt)F*(-w)反褶+共扼扼f *(-t)F*(w)(4) 对偶性：傅里叶正逆逆变换的的变换核核函数是是共轭对对称的：；表示按自变变量w进行行傅里叶叶变换，结结果是tt的函数数。IFT可以以通过FFT来实实现。FT的对偶偶特性：若为偶函数数，则；若为奇函数数，则。(5) 尺度变换特特性：此性质表明明：时域域压缩对对应频域
11、域扩展、时时域扩展展对应频频域压缩缩。(6) 时移特性：时移不影响响幅度谱谱，只在在相位谱谱上叠加加一个线线性相位位。与尺度变换换特性综综合：(7) 频移特特性：与尺度变换换特性综综合：频谱搬移：时域信信号乘以以一个复复指数信信号后，频频谱被搬搬移到复复指数信信号的频频率位置置处。利利用欧拉拉公式，通通过乘以以正弦或或余弦信信号达到到频谱搬搬移目的的。(8) 微分特特性：时域微分：频域微分：如果连续运运用微分分特性，则则(9) 积分特特性：时域积分：如果在处有有界(或)，则频域积分：(10)卷积定定理：时域卷积定定理：频域卷积定定理：(11)时域相相关性定定理：若是实偶函函数，则则。此时时，相
12、关关性定理理与卷积积定理一一致。自相关的傅傅里叶变变换：。即即函数的的自相关关函数与与其幅度度谱的平平方是一一对傅里里叶变换换对）。(12) 帕斯瓦瓦尔定理理：5 周期信信号的FFT(1) 正正余弦信信号的FFT：余弦信号和和正弦信信号的频频谱如图图7所示：图7 余弦弦信号和和正弦信信号的FFT(2) 一般周周期信号号的FTT：(i)设周周期为的的周期信信号在第第一个周周期内的的函数为为，则(iii) 周周期单位位冲激序序列的FFT：(a) FT的对偶偶性() (b) 冲激串FSS为：(c)(d) FT的线性性性(iii) 一般周期信信号的FFT：(iv)(v) 关关系图：图8非周期期信号FF
13、T与周周期信号号FS/FT比比较6抽样信号号的FTT(1) 抽样信号的的FT：(2) 理想抽样前前后信号号频谱的的变化如如图9所所示：(3) 结论1：按按间隔进进行冲激激串抽样样后信号号的傅里里叶变换换，是周周期函数数，是原原函数傅傅里叶变变换的分分之一按按周期所所进行的的周期延延拓。(4) 结论2：时时域离散散频域周周期图9理想抽抽样信号号的FTT7 抽样定定理(1) 抽样定理：要保证证从信号号抽样后后的离散散时间信信号无失失真地恢恢复原始始时间连连续信号号（即抽抽样不会会导致任任何信息息丢失），必必须满足足：信号号是频带带受限的的(信号频频率区间间有限)；采样样率至少少是信号号最高频频率的两两倍。(2) 概念(名词词)：抽样周期：进行理理想采样样的冲激激串的周周期。抽样频率：抽样角频率率：奈奎斯特率率：无失失真恢复复原信号号条件允允许的最最小抽样样率或奈奎斯特间间隔：所所允许的的最大抽抽样周期期奈奎斯特频频率(折叠频频率)：信号号经采样样后，采采样率的的一半或或)奈奎斯特区区间： 或 (3) 性质：在连连续信号号的抽样样满足抽抽样定理理时，奈奈奎斯特特频率是是信号频频率的上上限。(4) 从抽样信号号恢复原原始信号号的方法法：(i) 理理论上：(ii)工工程上：将通过过截止频频率为、放放大倍数数为的低低通滤波波器。
