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1、向量的向量积在中学数学中的应用 摘要 向量的向量积作为中学数学知识体系的一个补充与扩展，也是大学解析几何这一学科整个体系的基础预备内容，学好向量积能够帮助学生做好高中与大学数学知识的衔接，顺利地度过大学适应期。本文首先简要介绍了向量积在中学数学中的应用的国内研究现状以及向量积的定义与主要性质，然后利用向量积，对于中学数学中有关立体几何的证明问题、二面角的求解问题、空间中点线面间的距离问题以及三棱锥体积的求解问题等几大类问题，给出新的解法或思路，实践证明，用向量积解决许多数学问题更具简洁性，在思考问题的维度上也具有更高层次性。最后，本文从教师如何教和学生如何学这两种角度，给出了向量积的一些教学和
2、学习建议，为向量积引入中学数学的教学体系做出了进一步的铺垫和完善。关键词 向量积 中学数学 立体几何 二面角 三棱锥的体积 学习建议The Application of Vector Product of Vector in Middle School MathematicsAbstract As a supplement and extension of the knowledge system of mathematics in middle school, the vector product of vectors is also the basic preparatory conten
3、t of the whole system of the subject of analytic geometry, learning vector product well can help students to link up their high school and College Mathematics Knowledge, and pass the college adaptation period smoothly. In this paper, we first introduce the application of vector product in middle sch
4、ool mathematics and the definition and main properties of vector product, some new solutions or ideas are given to the problems of proving solid geometry, solving dihedral angle, distance between point lines and surfaces in space, and solving the volume of Triangular Pyramid in middle school mathema
5、tics, it has been proved by practice that it is more concise to solve many mathematical problems with vector product, and it also has higher level in the dimension of thinking problems. Finally, this paper gives some teaching and learning suggestions of vector product from the two angles of how to t
6、each and how to learn, and makes further preparation and improvement for introducing vector product into the teaching system of middle school mathematics.Key words vector product high school math solid geometry dihedral angle the volume of the pyra learning advice目录引言11向量的向量积在中学数学中的应用的国内研究综述22向量的向量积
7、有关的知识32.1两向量的向量积32.1.1向量积的定义32.1.2向量积的运算规律42.2向量积的坐标运算43利用向量的向量积解决中学数学问题53.1利用向量积解决立体几何的有关问题53.1.1线面平行53.1.2面面平行63.1.3线面垂直83.1.4面面垂直93.2利用向量积解决二面角问题103.3利用向量积计算点线面间的距离问题133.3.1利用向量积求解点面距离133.3.2利用向量积求解线面距离153.3.3利用向量积求解面面距离163.3.4利用向量积求解异面直线间距离183.4利用向量积求三棱锥的体积214向量积在中学数学中的应用的几点建议214.1教师如何更好地教授向量积21
8、4.2学生如何更好地学习向量积22结语23参考文献24致谢25引言从2002年徐元根对中学向量的教学体系作出思考以来，我国对于该方面的探索和研究就从未停止。学生在中学时代所接触的向量的知识体系并不是完整的，它只包含了较为浅显的平面向量的坐标运算、数量积等知识，空间向量方面并没有特别深入的介绍，同时与空间向量紧密联系的向量积也是只字未提。这使得学生在学习时会产生疑惑：已经学习到了向量的点乘，那么有没有对应的向量的叉乘呢？而若要解决学生的这一类问题，又要引入对应的空间的方向问题，显然这在中学阶段，学生是没有额外的精力和时间去学习这多出来的这么多的东西的。但是这并不能完全否决掉向量的向量积在学生中学
9、时代所发挥的作用。有序实数组所构成的向量在未来和现实生活中具有越来越广泛地应用性，同时现代数学教育也开始重视实际的应用，这就要求学生掌握一些必要的知识。而当学生能够较为熟练地运用和掌握向量的不同方法的运算，其思维思考方式也将会变得大大的不同，这使得学生能够从更高的层面来思考问题，更多的将思维层次从二维转化为三维，更深入地体会到初等数学向高等数学转化的过程，为以后的更深入的数学学习打下良好的基础。本文通过用向量积解决中学数学中常见的几种几何问题，采用文献研究法、数学方法、思维方法，以期能够得到用向量积解决中学数学问题方法，从而对中学数学向量的教学作出一些思考。本论文由七个部分组成，分别为：引言、
10、向量积在中学数学中的应用的国内研究现状、向量的向量积的有关知识、利用向量积解决中学数学问题、有关向量的向量积在中学数学中的应用的几点建议、结语、参考文献、致谢。其中，向量的向量积的有关知识和利用向量积解决中学数学问题这两部分是本论文的重点。本论文分为三个阶段展开，第一个阶段准备阶段：通过查阅文献，了解前人对于向量积引入中学数学教学这一问题的看法，同时参考中学数学资料，了解向量积在解决这方面问题时应如何发挥作用；第二个阶段整理归纳与尝试阶段：将收集到的几类中学数学常见的几何问题进行整理归纳，尝试将向量积用更简单的方式介绍给中学生，用向量积解决中学数学相关问题；第三个阶段提取结论与总结阶段：通过对
11、中学数学几何问题的类型的归纳与总结，对不同的类型给出不同的解决方法，完成论文。具体步骤是先对向量积的有关知识进行介绍与应用，然后用向量积的有关知识解决中学数学问题，最后提出教学与学习策略。1向量的向量积在中学数学中的应用的国内研究综述对于中学生来说，向量是他们在高中阶段掌握的又一个解决几何问题的重要数学工具，然而令人遗憾的是，在他们初步认识向量的阶段，课本中对于这一数学工具的介绍并不是完整的，这其中就少了非常重要的一块向量积。向量积在整个向量及空间几何的体系中，是处于一个比较重要的、承上启下的地位的，它是从平面的二维向空间的三维转化的一个重要的工具，利用好向量积，便能够在以后的空间几何的学习中
12、占据非常大的优势。既然向量积在整个体系的位置中如此重要，那么将它引入到中学数学的学习中是否合理且必要呢？它能否在中学数学现有的知识体系中发挥一定的重要作用呢？中学生是否有一定的能力来接纳向量积的融入呢？这些问题在前几年我国就有先辈进行了一些探索，虽然并没有推动向量积引入中学数学的知识体系，但终究是给后人留下了一些思考和行动的经验。在2002年，徐元根1P79-83首先对中学数学向量教学内容和体系做了初步的探索与思考，认为引入向量积运算以配合我国传统的立体几何教材是利大于弊的。在2007年，夏传武2P35将中学传统的数量积与大学才接触到的向量积在几道具体的问题情境中进行了比较，发现这二者是可以相
13、互“取代”的，在某些问题情境中灵活运用，能够减少解题过程中的运算量。在2008年，张华3P156-157对向量积在高中数学中的具体应用做了初步的探索，发现利用向量积可以求解面积、二面角、三棱锥的体积等问题，得出引入向量积能够完整高中向量系统的结论。在2009年，黄俊松4P85-87通过对几道高考题的解析，用向量积开辟了新的解题思路和方法，同时也提出在高中时让学生掌握这方面的知识能够节约考试时间，提高解题效率。在2010年，庄菁5P45-447对向量法在立体几何中的解题策略做了较为系统的整理和论述，为后来向量积在立体几何中的应用指明了研究方向。在2012年，康玉玲6P106+167则是对向量积在
14、面积、二面角、三棱锥体积的求解上做出了更深一步的探索，将这几类问题整理归纳，落实到具体的问题情境中去求解。在2013年，俞萍7P26-28则是对向量积解决二面角问题做出了深入探索，她发现用传统的方法难以精确地确定二面角的大小，而在求解问题时人为的设置法向量的方向就可以避免这种问题，这就是用向量积来求解法向量的基本思想。在2014年，马玉峰8P298-301在探究向量积的性质时，得到了三棱柱与三棱锥的体积关系，而这也是用向量积求解三棱锥体积的必经之路，能够看出中学数学与向量积有着千丝万缕的联系。在2018年，洪喜彬9P126正式提出将向量积引入中学数学体系用以解决更难更复杂、题型覆盖面越来越广的
15、高考题，他从几个方面研究了将向量积引入中学数学教学体系的必要性，论证了此做法是新课程数学思想方法的体现。从前辈们的研究中来看，将向量积引入中学数学教学体系是有必要且也是不难做到的。向量积在中学数学问题中能够以简洁的方法解决很多种题目，尤其是与立体几何相关的题目，利用向量积往往能够较为快速的解决问题，从而帮助学生尽快得到答案，在思维上更加敏捷迅速，在考场上争分夺秒快人一步，从而取得巨大成功。2向量积的有关知识在现行实施的教材的结构顺序中，大部分学生需要到大学阶段才能够接触到向量的向量积这一概念，而中学教材中，这一概念是缺失的。向量的向量积是在三维空间上对向量乘法的定义，它得到的结果仍然是一个向量。学生在接触这一概念后，能够在一定程度上将所学到的向量的知识进行补全，整合形成一个较完整的知识体系。在这一节就主要从向量积的定义、几何意义、运算规律和坐标运算等几个方面来介绍向量的向量积的有关知识，为下一节用向量的向量积来解决中学数学的几类问题做一个铺垫。2.1两向量的向量积2.1.1向量积的定义1.向量积的定义：两向量与的向量积记作或，它仍是一个向量，该向量的长度也就是向量的模是.图1 向量积的方向：右手法则图2 向量积的模的几何意义2.向量积的方向：与向量和向量垂直，并且使（,）构成右手标架：O:,.可以根据右手法则来判定的方向（如图1）：右手除拇指外四指
