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1、98060IE寸IsszrsM S弹性力学有限元位移法原理一、有限单元法的起源有限单元法的形成可以追溯到20世纪50年代甚至更早些时间，基本思路来源于固 体力学中矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。对不同结构的杆系、 不同的载荷，用矩阵位移法求解都可以得到统一的公式。在1952-1953年期间，R W Clough和M J Turner在分析飞机三角翼振动问题时，提出了把平面应力 三角形或矩形板组合起来表达机翼刚度的方法，当时被称为直接刚度法。1956年 M J Turner， R W Clough， H C Mar tin, L J Topp在纽约举行的航空学会年会上发表 论文S
2、tiffness and deflection analysis of complex structures(复杂结构 的刚度和变形分析)介绍了这种新的计算方法，从而将矩阵位移法推广推广到求解弹 性力学平面应力问题。它们把平面板壳结构划分为一个个三角形和矩形的“单元” 利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与结点位移关系的单元刚度矩阵。1960 年，R W Clough 在论文The finite elemen t in plane str ess analysis(平 面应力分析的有限元法)中首次提出了有限单元(Finite Element )这一术语，他也 因此被称为“有限单元之父”二、有
3、限元法的基本思想有限元法是一种结构分析的方法，正如0C Zienkiewicz所说的：“人类思维的限 制在于不能通过一步运算就掌握复杂环境和事物的行为。因此，先把所有系统分解 为它们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原 来的系统来研究系统的行为”可以看出有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组合体来加以分 析。三、有限单元法的数学基础当有限单元法成功的应用于求解弹性力学平面问题之后，下一步要解决的问题就是 能否把这种方法应用于求解其他连续介质问题。在寻找连续介质问题近似算法的时 候，数学家们发展了微分方程的
4、近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。四、有限元分析的基本步骤建立研究对象的近似模型将研究对象分割成有限数量的单元用标准方法对每一个单元提出一个近似解将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统用数值方法求解这个近似系统计算结果处理与结构验证五、一维杆的有限位移法分析本文以一维直杆的分析为例子，研究有限元位移法基本原理和求解过程。虚位移原理推到一维直杆单元的刚度方程如下图所示一维直杆，已知直杆杆长为L,横截面积为A,材料弹性模量为E,所受轴向分 布载荷集度为q(x)。杆端位移分别记为ui，片，杆端力分别记为Si，片。q(x)s.=NueN (0) = 1iN (1) = 0
5、iN (0) = 0jN (1) = 1j2、任意一点总和为1设局部坐标系下杆中A点的坐标为x ,因为只有两个边界条件u , u ,因此杆轴任意一点（例 ai j如A点）的位移可假设为u = u = a + bxa式中a，b为待定常数。它们可由杆端位移条件来确定:将式代入式可得:xxu = (1 一 一) u + 一 uL 本端为1,它端为零 L j若引入无量纲变量:则式（3）可改写成:u = N u + N u = N i i j j L i式中N =1-g N =gij称为形函数，矩阵N称作形函数矩阵；矩阵u称为杆端位移矩阵或节点位移矩阵。e由式（4）可以看出，形函数具有如下性质：N (g
6、 ) + N (g ) = 1ij现采用虚位移原理给出该杆单元的特性公式,设杆端i，j分别产生虚位移5，由此引起的单元内任意一点的虚位移为:5 u 二 N 5 u 二 N 5B u2 eBuedud N_ dNdN 一 11 8 =u =iju =dxdx edxdxe_ LL _e又uei式中B为应变矩阵。由此可得58 = B 5 ue又o = E 8 = E Bu = Ee根据虚位移原理：对任意虚位移，外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功, 即W三W即 外变所以有5 W = ST5 u + J L q (x)5 udx = ST5 u + J L q (x )N5 u dx 外e
7、 0e 0e=(S T + J L q (x )Ndx )5 u0 e=(S + J L q ( x ) N T dx)T 5 u0 e5 W = L o t58 AdxL u tB T EA B 5 u dx = u T (J L B T EA Bdx )5 u变 00 eee oe5 W = 5 W由夕卜变可得：(S + J L q (x)N T dx) t 5ou = u T (J LBtea Bdx)5u(S + J L q ( x)N T dx)To若记J L q (x)N T dx = Fe oEu t (J L BTEA Bdx)e oe e oeJ L BTEA Bdx = K
8、oeF E称为该杆单元等效节点载荷;E所以可得单元刚度方程：S + F e = K uEe eK e局部坐标单元刚度矩阵。式中单元刚度矩阵的显式为：EA1-1 可见单元刚度矩阵具有对称性。 即单元刚度矩阵的每一个元素可写成L dNdNK = J LLEALdxij o dxdx二、分析与计算1、图示两个结构和单元相似，方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料 相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学 有关知识来分析两个模型求解后对应节点的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两 个模型面力的合力相等；2）两个模型面力的集度相等。（10分）2
9、P1解：建立坐标系如图所示，对(a)图，各节点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标1400420202402050032006020单元节点信息数组可记为6533 464 31124单元,0.5 x 20 x 20 = 200，由式(a)可得=20=-20=-20=20由式B(b),单元几何矩阵为1-00-200200 一1-001 0 10B G =0200-2000010 1 0040020200-2020020101 1 01为了计算简便，可设“=0且为单位厚度，弹性矩阵大为简化，由式1 0 0，可得D = E 010000.5由式G e = D e = DB e g e = S e 5
10、 e（C）,得单元的应力矩阵/、E-00200200 一E-002 0 20S G =02002000020 2 00400401001010010101 1 01由式Ke = t f BeT DB ed Q = tAB eT DB e (d),单元的单元刚度矩阵为Q e10 1 10102 0 200E10312 -1K=tABT S=412130-100 202010 1 101根据单元刚度矩阵的性质可得K(2)=K =K（4）K（1）对（b）各节点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标1200410102201050031006010单元节点信息数组可记为:单元，面积A（i）= 0.5 x
11、 10 x 10 = 50，由式（a）可计算出b = 0 c = 101 1b=一 10c= 一 102 2b=10c= 03 3由式（b）,单元几何矩阵为1-00-100100 一1-001 0 10B G =0100一 1000010 -1 0010010100一 10一 10010101 1 01由式（c）得单元的应力矩阵/、E-00100100E-002 0 20S G =01001000020 2 0010020505505101 1 01由式（d）得单元的单元刚度矩阵_ 101101 一020200EK=tABt S=1031 -214121301002020101101同理由单元刚度矩阵的性质可得K（2）=K=K（4）K（1）综上可知，两个模型中的单元刚度矩阵均相同，所以它们的总刚度矩阵也相同，即位移列阵为=uk（3）+ k（4）11 11k（4）21k（3）k12k（4）22k（3）130k + k（4）1414k（4）24k（2）+ k（3）313333333434353636k（3）+ k（4）k（4）k（2）+ k k（2）+ k + k（4）0k（2）41414243434444444600k0kk53555600k + k（2）k（2）kk + k（2）
