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1、杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷 2018.4.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1函数的零点是 2计算： 3若的二项展开式中项的系数是，则 4掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 5若、满足，则目标函数的最大值为 6若复数满足，则的最大值是 7若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形， 则该圆锥的体积是 8若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则 9若，则的值为 10若为等比数列，且，则的最小值为 11在中，角,所对的边分别为,， 若为钝角，则的面积为 12已知非零向量、不共线，设，定义点集. 若对于任意的，当，且
2、不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13已知函数的图象如图所示，则的值为 （ ） 14设是非空集合，定义：=.已知， ，则等于 （ ） 15已知,则“”是“直线 与”平行的 （ ） 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件16已知长方体的表面积为，棱长的总和为. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为 （ ） 三、解答题17（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润 (单位：元）与营运天数满
3、足 . （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的动点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点的位置，并证明你的结论.19（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 已知数列，其前项和为，满足，其中， ，. (1) 若，（），求数列的前项和； (2) 若，且，求证：数列是等差数列.20（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 已知椭圆,直线不过原点且不平行
4、于坐标轴，与有两 个交点、，线段的中点为 （1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的范围； （2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若过点，射线与交于点，四边形能否为平行四边形？ 若能，求此时的斜率；若不能，说明理由21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 记函数的定义域为. 如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立，则称为函数.（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数，其中常数，证明：是函数；（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.杨浦区2017学年度第二学期高三年
5、级模拟质量调研 数学学科试卷答案 2018.4.10一、填空题1. ；2 ； 34 ； 4. ； 53 ； 6. 2； 7 ；84； 9 ；104 ； 11 ； 12. 二、选择题13 C ； 14 . A ； 15 B ; 16. D ;三、 解答题17（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）【解】（1） 要使营运累计收入高于800元，令， 2分 解得. 5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .7分（2） 9分 当且仅当时等号成立，解得 12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .14分18（本题满分14分，第1小题满分6分，
6、第2小题满分8分）【解】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（1，0，0）， B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0m1）（1）证明：，2分 4分 所以DA1ED1. 6分另解：，所以. 2分又，所以. 4分所以 6分（2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系7分所以、，设，则 8分设平面CED1的法向量为，由可得，所以，因此平面CED1的一个法向量为 10分由直线与平面所成的角是45，可得 11分可得，解得 13分由于AB=1，所以直线与平面所成的角是45时，点在线段AB中点处.
7、 14分19（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）【解】（1），所以.两式相减得.即 2分所以，即， 3分又，所以，得 4分因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列.，前n项和为 7分（2）当n=2时，所以.又可以解得， 9分所以，两式相减得即.猜想，下面用数学归纳法证明：当n=1或2时，猜想成立；假设当（）时， 成立则当时，猜想成立.由、可知，对任意正整数n，. 13分所以为常数，所以数列是等差数列. 14分另解：若，由，得，又，解得 9分由， ，代入得，所以，成等差数列，由，得，两式相减得：即所以 11分相减得：所以所以， 因为，所以，即数列是等差数列.14分20（本题满分
8、16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）【解】（1）椭圆，两个焦点、，设所以由于，所以， 3分由椭圆性质可知，所以5分（2）设直线（），所以为方程的两根，化简得，所以，. 8分，所以直线的斜率与的斜率的乘积等于 -9为定值. 10分（3）因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，设 设直线（），即.由（2）的结论可知，代入椭圆方程得12分由（2）的过程得中点， 14分若四边形为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，得，解得所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形 16分21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）是函
9、数 . 1分理由如下：的定义域为，只需证明存在实数，使得对任意恒成立.由，得，即.所以对任意恒成立. 即 从而存在，使对任意恒成立.所以是函数. 4分（2）记的定义域为，只需证明存在实数，使得当且时，恒成立，即恒成立.所以， 5分化简得，.所以,.因为，可得，,即存在实数，满足条件，从而是函数. 10分（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，所以 （1）， 12分又因为 （2）， 所以当时，由（1 ） 由（2） （3）所以（取由（3）得）再利用（3）式，.所以为周期函数，其一个周期为. 15分当时，即，又，所以为常数.所以函数为常数函数，是一个周期函数. 17分综上，函数为周期函数。 18分第 10 页
