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1、1、 n行列式共有n2个元素，展开后有!项，可分解为2n行列式;代数余子式的性质： 、 A 和 a 的大小无关；ij ij 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0； 、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ；代数余子式和余子式的关系： M = (1)i+jAijij设n行列式D :Aij行列式=(1+jMijn将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D,则D1 = (1) 2 Dn (n 1)将D顺时针或逆时针旋转90。，所得行列式为，则 = (1) 2 将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为D3，则D3 = D ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4,则D4
2、= D ；行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积;n( n 1)副对角行列式：副对角元素的乘积X (1) 2 上、下三角行列式(I、I = k I)：主对角元素的乘积；、D；I I 和 I丄I :副对角元素的乘积X (-1(2 !)A O拉普拉斯展开式：c B=(-i)m m AIBI1.2.3.4.5.6.7.1.2.3.4.5.、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;、特征值;对于n阶行列式AI，恒有：入E 一A =入n +(1)kS入n-k，其中s为k阶主子式; kkk=1证明A = 0的方法：、A = - IAI ； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = 0，证明其有非零解
3、; 、利用秩，证明r(A) n ； 、证明0是其特征值；2、矩阵A是n阶可逆矩阵：O A丰0 (是非奇异矩阵)；O r(A) = n (是满秩矩阵)O A的行(列)向量组线性无关；O齐次方程组Ax = 0有非零解；Oe Rn，Ax = b 总有唯一解；O A与E等价；O A可表示成若干个初等矩阵的乘积；O A的特征值全不为0；O AT A 是正定矩阵；O A的行(列)向量组是Rn的一组基；O A是Rn中某两组基的过渡矩阵；(A*)T = (AT )* ( AB)1 = B1 A1对于n阶矩阵A: AA* = A*A = AE无条件恒成立;(A1)* = (A*)1(A1)T = (AT )1(
4、AB)T = BT AT( AB)* = B* A*矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：，则：I、Al = AIIA I-A l;1 2(A-11II、A-12A-丿s1.rAC-1r A -1-A-1CB-1y、 OB丿OB-1丿rAO-1rA -1O、B丿B-1CA-1B-1丿拉普拉斯）拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组（Er O一个m Xn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =0丿mXn 等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩
5、阵A、B，若r（A）= r（B）o A B ；r A0-1r A -10 、0B丿OB-1丿；（主对角分块）r0A-1r0B-1、BO丿 A-1O丿；（副对角分块）2.行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非o元素必须为1；3. 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 若（A,E）日（E,X），则A可逆，且X = A-1 ；、对矩阵（A，B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1 B ,即：（A,B）丄（E,A-iB）.、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax = b，如果（A，b）J（E，x），则 A
6、 可逆，且 x = A-1b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; 、，左乘矩阵A，“乘A的各行元素；右乘,乘A的各列元素;-1、对调两行或两列，符号 E(i,力，且 E(i,j)-1 = E(i,J)，例如:1丿1丿-1、倍乘某行或某列，符号E（i （k），且 E（i（k）-1 = E（i（），例如:(k 丰 0)；、倍加某行或某列，符号E（iJ（k）,且E（J（k）-1 = E（j（-k），如:1丿r 1k y-1r1-ky11、 1丿1丿(k 工 0)；5. 矩阵秩的基本性质： 、0 r(A ) min(m,n)
7、；mxn 、r(At ) = r(A)； 、若 A B，则 r (A) = r(B)； 、若P、Q可逆，则r(A) = r (PA) = r (AQ) = r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max(r(A),r(B) r(A, B) r(A) + r(B)；(探 、r(A + B) r + r(B) ； ( 、 r(AB) min(r(A),r(B)； () 、如果A是m xn矩阵，B是nxs矩阵，且AB = 0 g：(探I、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；II、r (A) + r (B) r(A) + r(B) - n ；6.三种特殊矩阵的方幂： 、秩
8、为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;1 a c 、型如01 b的矩阵：利用二项展开式；I0 0 1 丿二项展开式：(a + b)n=C 0a n + C1 fln-1b1 + + CmQn-mbm + Cn-1a1bn-1 + Cnbnnn艺 Cmambn-mnm=07.注：I、(a+b)n展开后有n+1项;n(n -1)(n - m +1)n!TT Cm =、n1卫3-mm !(n 一 m)!C0 =Cn =1 nnIII、组合的性质：Cm = Cn-mnn、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：n、伴随矩阵的秩：r(A*=i10Cm = Cm + Cm
9、-1n+1nn工 Cr = 2nrCr = nCr-1 .nnn -1r=0、伴随矩阵的特征值:、A* = |a|A-1r( A) = n r(A) = n -1 r(A) n -1A (AX 暮 X, A* =| AA-= A* X = AX )；|a*| = AIn-18.关于 A 矩阵秩的描述：、r(A) = n，A中有n阶子式不为0，n +1阶子式全部为0；(两句话)、r(A) n，A中有n阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax = b，其中A为m x n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax = b为n元方程;10.
10、 线性方程组 Ax =b 的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解; 、特解：自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:a x + a x + + a x = b11 11221nn1a x + a x + + ax = b、21 12222 nn2a x + a x + +a x = bm1 1 m 2 2nm n n、(rcaa1112aa2122a1na2nr b)1b2O Ax = b （向量方程，A为m xn矩阵，m个方程，n个未知数）a am1 m 2amn1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.、
11、（气&xa ).2n r b）1o b（全部按列分块，其中P =.2）；I xn)nI bn卩（线性表出）、有解的充要条件：r（A） = r（A，卩） n（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A: a，a，a构成n xm矩阵A = （a，a，a ）；12 mm个n维行向量所组成的向量组B:卩T,卩:，,卩m构成m x n矩阵B =12PT1P T2含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；无关 Ax = 0有、无非零解；（齐次线性方程组） O Ax = b是否有解；（线性方程组） AX = B是否有解；（矩阵方程）行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组A
12、x = 0和Bx = 0同解; 、向量组的线性相关、 、向量的线性表出 、向量组的相互线性表示 矩阵 A x 与 Bxmx nl x nr（ATA） = r；（t0i 例n维向量线性相关的几何意义： 、 a, Pa线性相关线性相关 、a，卩，Y线性相关P（01 例 14）a = 0 ；a， P 坐标成比例或共线（平行）a，卩,丫共面；线性相关与无关的两套定理：若a，a2，a线性相关，则a，a2，a，a ,必线性相关;12s12s s+1若a，a2，a线性无关，则a，a2，a ,必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）1 2s1 2s1若r维向量组A的每个向量上添上n r个分量，构成n维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为S ）线性表示，且A线性无关，则r J s （二版p4定理7）； 向量组A能由向量组B线性表示，则rJ r（B）；（ P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示 AX = B有解； r =r（A，B）（ P85 定理 2） 向量组A能由向量组B等价 r （A） = r（B） = r （A，B）（ P85定理2推论） 方阵A可逆存在有限个初等矩阵，匚,，P，使A = PiP2P；r
