《2020版高考数学新设计大一轮复习 第三章 导数及其表示 第2节（第2课时）利用导数研究函数的极值、最值习题 理（含解析）新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新设计大一轮复习 第三章 导数及其表示 第2节（第2课时）利用导数研究函数的极值、最值习题 理（含解析）新人教A版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时利用导数研究函数的极值、最值考点一利用导数解决函数的极值问题多维探究角度1根据函数图象判断函数极值【例11】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.答案D规律方法由图象判断
2、函数yf(x)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例12】 (2019哈尔滨模拟)已知函数f(x)ln xax(aR).(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上
3、的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a(x0).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.规律方法运用导数求可导函数yf(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数yf(x)的定义域，再求其导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查导数f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零
4、的点不一定是极值点.角度3已知函数的极(最)值求参数的取值【例13】 已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)图象的过点P(0，1)的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)mx存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，)，且f(x).设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为yxln x01.把点P(0，1)代入切线方程，得ln x00，x01.过点P(0，1)的切线方程为yx1.(2)因为g(x)f(x)mxln xmx(x0)，所以g(x)m，令h(x)mx2xm，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.
5、故只需满足即可，解得0m.规律方法已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)，则当x时，
6、f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.考点二利用导数求函数的最值【例2】 (2019广东五校联考)已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.解(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大
7、值为1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意.若a0得a0，结合x(0，e，解得0x；令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，f(x)maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2.e20)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.解(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)，水底作业时的用氧量为100.99(升)，返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，因此总用氧量y9(v0).(2)y，令y0得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调
8、递增.若c0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x2时，f(x)取得最大值80，则V4.体积最大值为4 cm3.答案4思维升华1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.易错防范1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参
