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1、高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）、选择题（每小题4分，共20 分）1、若人，y2是方程y + P（X）y - Q（X）（Q（X）W0）的两个特解要使ayi + B y2也是解则a与0应满足的关系是（D ）A2、a+0=1 b2a + 0 = 1 C a0 = 0a=p=2列方程中为全微分方程的是（ C ）A (2 - 2 xy - y 2)dx - (x + y -1)2 dy = 0B(x2 - xy2)dx - (y2 - x2 y)dy = 0C(1+ e -20 )d p- 2 p e -20 dB = 0D(x 2 + y 2) dx + (2 xy + x)dy = 03、
2、设九为实常数，方程y + 2九y +九2y = 0的通解是（D）AC e-儿 + C12B C cos 九x + C sin 九x12Ce-儿(C cos 九x + C sin 九x)12D(C + C x)e-儿124、方程 y 2y + 2y = ex cos x的特解 y * 形式为（ B ）Aaxe x cos xBaxe x cos x + bxex sin xCax 2ex cos x + bx2e x sin xDax2ex cos x5、已知 y = ex +f xy(t)dt0则函数 y（x） 的表达式为（ D ）A y=xex+CB y=xexC y=xex+Cex D y
3、=（x+1）ex二、填空题（每小题4 分，共 20 分）1、方程d =,小的通解是x = e2y (y + C)dx2 x + e 2 y2、方程 x(y 1) = y 的通解是 y = x(ln x + C)3、以 y1=e2x,y2 =xe2x 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为y一 4 y + 4 y = 04、已知方程y y = 0的积分曲线在点O(0,0)处与直线y二x相切，则该积分曲线的方程为y = 2(ex e-x) = shx5、方程xdy-ydx = 0的一个只含有x的积分因子为一 三、(共 60 分)1、(8 分)求方程(y x + 1)dx (2y 2x + 3)dy
4、= 0 的通解解：令y x +1 = u,贝y dy = du + dx,代入原方程得(u + 1)dx = (2u + 1)du 即(2 )du = dx,两边积分得u+12uin(u+1)= x+C ,代回原方程,得通解12 y x ln( y x + 2) = C2、(6 分)求方程(1+ x2)dy 二(2xy + 3x2 + 3)dx 的通解解：方程改写为y占-y = 3，则通解为1 + x 2y = ein(i+x2)卩 3ein(i+x2)dx + C = (1+ x2)(C + 3arctan x)3、(8 分)求微分方程(xey + 1)dx + (2-x2ey + y)dy
5、 = 0 的通解 解：设 P(x, y) = xey +1, Q(x, y) = 2x2ey + y有 甞=xey =字，则原方程为全微分方程，于是 dyexu(x, y) = Jx (x + 1)dx + Jy ( x2gy + y)dy = x2 + x + x2ey + y20 0 2 2 2 2故 原方程的通解为x2 + 2x + x2ey + y2二C4、(10 分)求解 2yy + y2 = y3 , y(0) = 1, y(0) = 2解：此方程不含x，令 y = P，则y= P挙，原方程化为2 yPdP + P 2 = y 3,2 PdP + - P 2 = y 2dydy y
6、此方程为贝努力方程，令P2 = z，上述方程化为dz 1+ z = y 2 dy yz = e-in y 卩 y2ein ydy + C ，1y2 =丄(4y4 + C) = 4y3 + C，由初始条件y 414y (0) = 1, y(0) = 1C广0，于是，方程化为.1dy ,亠y2 = 4y 3，或 忑=2y2-31y2，即 y2dy = 2dx,积分得所以原方程的特解为丄=1 -4x或1y = 厂 (1- )24、dy 1 3由初始条件应取=tdx 2=-4x + C2，再由初始条件y(0) = 1得C = 1,4225、（6分）求方程y（4）+ 3y二0的通解解：特征方程为r4 +
7、 3r2 = 0，特征根为r二r二0, r =j3i123,4方程的通解为y = C + C x + C cos富3x + C sin J3x12346、(10分)求方程y + y = 2x2 - 3的通解解：对应的齐次方程为y + y = 0，其特征方程为r2 + r = 0特征根为 r=0,r =-1，齐次方程的通解为 Y=C +Ce-x1 2 1 2因九=0是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为y* = x(b x2 +b x+b )0 1 22代入原方程，比较系数得b =,b =-2,b = 1，于是得到一个特解0 3 1 22y* = (3 x2 - 2 x+i)x，所求方程的
8、通解为2y = Y + y* = C + C e-x + ( x2 一 2x + 1)x1 2 37、(12分)求满足条件f(0) = -1, f(0) = 1且具有二阶连续导数的函3数 f (x)，使方程f (x) ydx + sin2x f(x)dy = 0是全微分方程。并求出全微分方程经过点5,1)的一条积分曲线。解：由全微分方程的条件知：f (x) = 3cos2x f(x)，即f(x) + f(x) = 3cos2x,对应的齐次方程的特征根为r =i1,2齐次方程的通解为F = C cosx + C sinx。因为九+ ito = 2i不是特征根,12则方程的特解形式为f * = A
9、cos2x + B sin 2x，代入方程解得A = 1, B = 0，故f* =-cos2x,方程的通解为f = F + f* = C cos x + C sin x cos 2x ,代入初始条件12f(0) = T广()=1，得 Ci= ，C2 =1，因此，所求函数为f (x) = sin x - cos 2 x将其代入原方程中，得全微分方程3(sin x - cos 2x) ydx + sin 2x - cos x - 2sin 2xdy = 02再求其满足y(兀)=1的积分曲线。因方程为全微分方程，其通解为y1J y - sin 2x - cos xdy = C , (sin 2x + 2cos x) y = C 02由条件y(兀)=1得C = -2,故所求积分曲线为y =-sin 2x + 2cos x
