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1、广东省茂名市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|2mx30,mR，其中2A且1A，则实数m的取值范围是（）A(34,32B34,32)C(34,32)D34,322若z(2+i)=3i2027，则z的虚部为（）A1B75C15iD153已知直角ABC斜边BC的中点为O，且|OA|=|AB|，则向量CA在向量CB上的投影向量为（）A14CBB34CBC14CBD34CB4直线l1，l2的倾斜角分别为，则“=”是“tan=tan”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既
2、不充分也不必要条件5如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（）AE，F，G，H四点共面BEFGHCEG，FH，AA1三线共点DEGB1=FHC16已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，C的准线与x轴的交点为M，点P是C上一点，且点P在第一象限，设PMF=，PFM=，则（）Atan=sinBtan=cosCtan=sinDtan=cos7已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，a5成等差数列，则S4S2=()A3B9C10D138已知m，nR，m2+n20，记直线nx+myn=0与直
3、线mxnyn=0的交点为P，点Q是圆C：(x+2)2+(y2)2=4上的一点，若PQ与C相切，则|PQ|的取值范围是（）A22,14B22,27C2,14D2,27二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知i为虚数单位，下列说法正确的是()A若复数z=1+i1i，则z30=1B若|z1|z2|，则z12z22C若z20，则|z1z2|=|z1|z2|D复数z在复平面内对应的点为Z，若|z+i|+|zi|=2，则点Z的轨迹是一个椭圆10质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2，5，7，70
4、四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A，“数字是5的倍数”为事件B，“数字是7的倍数”为事件C，则下列选项不正确的是（）A事件A、B、C两两互斥B事件AB与事件BC对立CP(ABC)=P(A)P(B)P(C)D事件A、B、C两两独立11已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)f(xy)=f2(x)f2(y)，f(1)=2，f(x+1)为偶函数，则()Af(3)=2Bf(x)为奇函数Cf(2)=0Dk=12024f(k)=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12(x2+1)(2x1x)4的展开式中常数项为 13在公差为正数的等差数列an中
5、，若a1=3，a3，a6，32a8成等比数列，则数列an的前10项和为 .14已知抛物线C：x2=4y，定点T(1,0)，M为直线y=12x1上一点，过M作抛物线C的两条切线MA，MB，A，B是切点，则TAB面积的最小值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数f(x)=ln2x+(e+a)x1，g(x)=(2a+e)x+1.（1）当a=e时，求函数f(x)的最小值；（2）若(x)=f(x)g(x)在(0,+)上单调递减，求a的取值范围.16如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面ABCD平面BCE，O为BC的
6、中点，M为CE的中点，BE=AB=AD=DC=2，BC=4（1）求证：DM平面ABE；（2）求平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值17设等差数列an的公差为d，记Sn是数列an的前n项和，若S5=a3+20，S15=a2a3a8.（1）求数列an的通项公式；（2）若d0,bn=4Snanan+1(nN)，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tnn+12.182024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从A处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现
7、正反两个结果）直到从X（X=1，2，3，4，5，6，7）号出口走出，且从X号出口走出，返现金X元附：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性女性总计喜欢走迷宫121830不喜欢走迷宫13720总计252550判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？（2）走迷宫“路过路口B”记为事件B，从“X号走出”记为事件AX，求P(A5|B)和P(B|A4
8、)值；（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？19曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大曲线在点M处的曲率K=|y|(1+y2)32（其中y表示函数y=f(x)在点M处的导数，y表示导函数f(x)在点M处的导数）在曲线y=f(x)上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D，使得|MD|=1K=，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆（1）求出曲线C1：y2x2=2在点M(
9、0,2)处的曲率，并在曲线C2：xy=1的图象上找一个点E，使曲线C2在点E处的曲率与曲线C1在点M(0,2)处的曲率相同；（2）若要在曲线C1：y2x2=2上支凹侧放置圆C3使其能在M(0,2)处与曲线C1相切且半径最大，求圆C3的方程；（3）在（2）的条件下，在圆C3上任取一点P，曲线C1上任取关于原点对称的两点A，B，求PAPB的最大值答案解析部分1【答案】A2【答案】D3【答案】B4【答案】B5【答案】D6【答案】A7【答案】C8【答案】C9【答案】A,C10【答案】A,B,C11【答案】B,C,D12【答案】1613【答案】16514【答案】315【答案】（1）解：因为a=e，所以f
10、(x)=ln2x+2ex1，可得f(x)=2lnxx+2e=2lnx+2exx，令q(x)=2lnx+2ex，显然q(x)在(0,+)上单调逆增且q(1e)=0因此当0x1e时，则有q(x)1e时，则q(x)0，于是有当0x1e时，函数f(x)单调递增，所以f(x)min=f(1e)=ln2(1e)+2e1e1=2.（2）解：化简得(x)=ln2xax2，即(x)=2lnxxa，因为(x)在(0,+)上单调递减，所以(x)=2lnxxa0在(0,+)上恒成立，由2lnxxa0a2lnxx，设(x)=2lnxx，则有(x)=2(1lnx)x2，当xe时，(x)0，(x)单调逆减，当0x0，(x)
11、单调逆增，所以(x)max=2lnee=2e，要想(x)=2lnxxa0在(0,+)上恒成立，只需a2e，经检验，当a=2e符合题意，因此a的取值范围为2e,+).16【答案】（1）证明：取BE的中点N，连接AN，MN，则MNBC且MN=12BC，又ADBC且AD=12BC，所以MNAD且MN=AD，所以四边形ANMD为平行四边形，所以DMAN又DM平面ABE，AN平面ABE，所以DM平面ABE（2）解：取AD的中点F，连接OF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以OFBC，又平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCE=BC，OF平面ABCD，所以OF平面BCE过点O作直线BC的垂线交BC于
12、点G，以O为坐标原点，分别以OG，OC，OF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：因为BC为直径，所以BE=12BC，所以BCE=30，BOE=60，EOG=30在等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=2，BC=4，所以OF=22(422)2=3，所以E(3,1,0)，C(0,2,0)，D(0,1,3)，B(0,2,0)，A(0,1,3)，所以CE=(3,3,0)，CD=(0,1,3)，BE=(3,1,0)，BA=(0,1,3)设平面DCE的法向量为m=(x,y,z)，则mCE=0mCD=0，所以3x3y=0y+3z=0，令y=3，则x=3，z=1，所以m=(3,3
13、,1)设平面ABE的法向量为n=(a,b,c)，则nBE=3a+b=0nBA=3c+b=0，取n=(1,3,1)设平面ABE与平面DCE的夹角为，则cos=|mn|m|n|=6565，所以平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值为656517【答案】（1）解：由S5=a3+20，S5=5(a1+a5)2=5a3，得5a3=a3+20，解得a3=5，由S15=a2a3a8，S15=15(a1+a15)2=15a8，所以15a8=5a2a8，所以a8=0或a2=3，当a8=0时d=a8a383=1，此时an=a3+(n3)d=8n；当a2=3时d=a3a2=2，此时an=a3+(n3)d=2n1；综上
14、可得数列an的通项公式为an=8n或an=2n1；（2）证明：因为d0，所以an=2n1，则Sn=(1+2n1)n2=n2，则bn=4Snanan+1=4n2(2n1)(2n+1)=4n21+1(2n1)(2n+1)=1+1(2n1)(2n+1)=1+12(12n112n+1)，所以Tn=1+12(113)+1+12(1315)+1+12(1517)+1+12(12n112n+1)=n+12(113+1315+1517+12n112n+1)=n+12(112n+1)=n+1212(2n+1)n+12.18【答案】（1）解：根据列联表中的数据可得K2=50(1271318)230202525=33.841，所以不能在犯错误的
