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1、材料力学例题及解题指导（第二章至第六章）第二章拉伸、压缩与剪切例2-1试画出图a直杆的轴力图解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴力。在段内任一截面1-1处 将杆件截开，考察左段（图2-5b）。在截面上设出正轴力竹。由此段的平衡方程SX=0得竹一6=0,N = +6kN图2-5理得CD段内任一截面的轴力都是一4kN。画内力图，以水平轴x表示杆的截面位置,竹得正号说明原先假设拉力是正确的， 同时也就表明轴力是正的。AB段内任一截 面的轴力都等于+6kN。再求BC段轴力，在BC段任一截面2-2处 将杆件截开，仍考察左段（图2-5c）,在截 面上仍设正的轴力N 2，由XX=0得-6+
2、18+N2=0n2得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力），同时又表明轴力n2是负的。BC段内任一截面的轴力都等于一12kN。同 以垂直x的坐标轴表示截面的轴力，按选定的比例尺画出轴力图，如图2-5 （d）所示。由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内。解题指导：利用截面法求轴力时，在切开的截面上总是设出正轴力N，然后由YX=O求出轴力 N，如 N 得正说明是正轴力（拉力丿, 如得负则说明是负轴力（压力）。及弹性模量E均已知。解：在杆上距下端为x处取一任意横(b)图2-6例2-2试求自由悬挂的直杆(图2-6a)由纵向均匀分布荷载？(力/长度)引起 的应力和纵向变形。设杆长Z、截面积A截面m-m
3、，则该截面轴力为N(x) = qx, 根据此式可作出轴力图如图2-6b所示。m-m 截面的应力为 cr(x) =N(x)/A = qx/A。 显然，悬挂端有最大轴力N =ql及最、大正应力bmaql/ A。求杆纵向变形，由于各横截面上轴力不等，不能直接应用公式(2-4),而应从长为dx的微 段出发。在x处取微段dx,其纵向伸长可写为杆件的总伸长1lN1竺dx亠J lxdx =坐EA 0 EA EA 02 EA研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力，此时单位杆长的分布力q=A-1-y，此处Y是材料单位体积的重量即容重。将q代入上式得到Av -12(AlyGl此处
4、G=Aly是整个杆的重量。上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于 下端时伸长的一半。解题指导：对于轴力为变数的杆，利用虎克定律计算杆件轴向变形时，应分段计算变形，然后代数相加得全杆变形，当轴力是连续函 数时则需利用积分求杆变形。例2-3图2-7所示两根圆截面杆材料相同，试计算两杆的应变能，并比较其大小。a 2 EA兀 d 2解: a 杆:图2-7b杆:16两杆应变能之比:787 P 2l8 E冗 d 2解题指导：从本例可看出，在受力相同的情况下，刚度小的杆件应变能大。例2-4平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB如图2-8a所示。在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性
5、模量均相同，分别为A、1、E。试求三根杆的轴力、图2-8解：设在荷载G作用下，横梁移动到AB位置(图2-8b),则杆1的缩短量为/,而杆 2、3的伸长量为阿、Al3。取横梁AB为分离体，如图2-8c，其上除荷载G外，还有轴力 竹、N2、N3以及X。由于假设1杆缩短，2、3杆伸长，故应将N设为压力，而N2、N3设 为拉力。(1)平衡方程SY = 0,-N + N + N -G = 0123工m = 0,- N - 2a + N - a = 0B12丿三个平衡方程中包含四个未知力，故为一次超静定问题。 变形几何方程 由变形关系图2-8b可看出BB=2CC,即Al3 +Al1 = 2(Al2 +结)
6、， 或(b)-Al1 + Al 3 = 2Al 2(3)物理方程Al1NlA,停,2 EAA, Nl3 EA(c)将(c)式代入(b)式，然后与(a)式联立求解，可得N = G/6 , N 二 G/3 , N 二 5G/6123解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压 力，要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据，两者之间必须一 致。经计算三杆的轴力均为正，说明正如变形关系图中所设，杆2、3伸长，而杆1缩短。例题及解题指导例2-5图3-6所示螺钉承受轴向拉力F,已知许可切 应力H和拉伸许可应力6之间的关系为：可=0.66，许 可挤压应力乐和拉伸许可应力6之间的关系为： 口=26
7、。试建立D，d，t三者间的合理比值。bs解：(1)螺钉的拉伸强度F _ FA 兀d 2/4 Q4 F兀Qd _ 2兀Q(2)螺帽的挤压强度bs-bs(D 2 - d 2)小 4F ,2F 4F 6FD 2 _+ d 2 _+_兀c兀c 兀c 兀c bs_ 2.45 x(3)螺帽的剪切强度F兀 dT 得：D : d: t = 1.225: 1 : 0.415解题指导：注意此题的剪切面、挤压面图3.7例2-6 一托板用8只 铆钉铆于立柱上，如图 3-7a,铆钉间距为a，F= 80kN,距离l=3a。已知铆 钉直径d=20mm,许可切 应力| = 130MPa，试校核 铆钉剪切强度。解：铆钉群的形心
8、C位 于立柱的y轴上。将力F 向C点平移得到一个过C 点的y向力F和一个顺时针转动的力偶Flo通过C的力F在每个铆钉受剪面上引起的剪力相等,其值为F/8,图3-7(c)所示，图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8o力偶Fl在每一铆钉中也引起剪 力,假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交，而大小与连线长度成正比。图3-7(b)示出Fl引起的铆钉剪力；铆钉1、3、5、7的剪力都是2、4、6、8的剪力都是Q2。诸铆钉的剪力对C之矩之和等于Fl,即再利用Q1 / Q2二込a / a二E，代入上式得12a铆钉2的总剪力Q2=F/8+F/4=3F/8。铆钉1的总剪力是、2F x丄M x 32
9、x 180 TGn 20 117mm:7.64 x 106 x 32 x 180t 80 x 103 x兀 2 x 0.3 x 10-3两个直径中应选其中较大者，即实心轴直径不应小于117mm,说明在此设计中刚度是主 要的。例3.3已知圆轴受外力偶矩m=2kNm,材料的许可切应力| = 60MPa。(1) 试设计实心圆轴的直径D;(2) 若该轴改为a=d/D=0.8的空心圆轴，式设计空心圆轴的内、外径d2、D2 解：(1)扭矩MT=m=2kNm,实心圆截面直径16 x 2 x 106n x 60=55.4mm(2) 若改为=0.8的空心圆轴，设计外径66.0mm_16M; 16 x 2 x 1
10、06兀(1 _a 4)u 兀(1 一 0.84) x 60内径 d2=0.8 XD2=0.8 X 66.0 = 52.8mmo(3) 比较二者面积空心轴的截面(1 一 a2)=兀 66.024(1 - 0.82) = 1231.6mm2实心轴的截兀 55.42=2410.5mm2422A 1231.6 c2 = 0.51A 2410.5i解题指导：由此例可见使用空心圆轴比实心圆周可以节约很多材 料，其主要原因是空心圆轴的材料布置离轴心较远，充分发挥了材料 的承载能力。例3.4计算图4-6受扭圆轴的应变能。设d1=2d2，材料的切变模量为G。图4-6解 此轴扭矩是常数，M产m,但AB和BC截面尺寸不同，因此应分段计算应变能，然后-再相加。有U = U + UAB BCM 2 LM 2 LT T2GI2GIP1P 232m 2 L32m 2 L2G兀（2d2G兀d 422=17c5-5 所: 解：该截面具有纟心。选值即可确定形 方法计算
