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1、湖南省常德市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|2mx30,mR，其中2A且1A，则实数m的取值范围是（）A(34,32B34,32)C(34,32)D34,322已知复数z=cos6+isin6（i为虚数单位），则|z|=（）A12B32C1D1+323平面向量a,b满足|b|=ab=1，则a在b方向上的投影向量为（）A12bB12bCbDb4将函数f(x)=cos2x的图象向右平移(00)的焦距为2，则该椭圆的离心率为()A55B33C55或12D33或556我国古代数学名
2、著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）A6寸B4寸C3寸D2寸7已知等差数列an的首项为1，公差不为0，若a2,a3,a6成等比数列，则an的第5项为（）A9B7C7或1D9或18如图，已知M为双曲线E:x2a2y2b2=1(a0,b0)上一动点，过M作双曲线E的切线交x轴于点A，过点A作ADOM于点D，|OD|OM|=2b2，则双曲线E的离心率为（）A2B62C3D52二、选择题：本题共3小题，每小题6分，
3、共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知z1,z2是两个虚数，则下列结论中正确的是（）A若z1=z2，则z1+z2与z1z2均为实数B若z1+z2与z1z2均为实数，则z1=z2C若z1,z2均为纯虚数，则z1z2为实数D若z1z2为实数，则z1,z2均为纯虚数10已知非零函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，且f(2+x)=f(2x)，则（）Af(1)=0B4是函数f(x)的一个周期Cf(x+1)=f(x1)Dy=f(x)在区间0,2024上至少有1012个零点11已知6lnm=m+a，6n=en+a，其中men，则
4、m+en的取值可以是（）AeBe2C3e2D4e2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12(x2+1)(2x1x)4的展开式中常数项为 13在公差为正数的等差数列an中，若a1=3，a3，a6，32a8成等比数列，则数列an的前10项和为 .14已知圆C:mx2+(2m1)y22axa2=0，若对于任意的aR，存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则m+n= .四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足1sinAcosA=sinBcosB（1）求证：A+2B=2；（2）求a2+b2c2的最小值16如
5、图1，菱形ABCD的边长为5，BD=2，将其沿BD折叠形成如图2所示的三棱锥ABCD图1 图2（1）证明：三棱锥ABCD中，BDAC；（2）当点A在平面BCD的投影为BCD的重心时，求直线AC与平面BCD所成角的正弦值17 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的3倍，且椭圆过点P(1,32)（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F的直线l与C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角若点P(1,32)到直线l与的距离为355，求直线PM与直线PN的斜率之和18在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军比赛采用“双败淘汰制”，具体赛
6、制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0p|g(x1)+g(x2)|成立，求实数b的取值范围（3）证明：当p1，n2时，有1np0)，由点P(1,32)到直线l与的距离为355，得32m1+m2=355，解得m=2联立x=2y+1x24+y23=1，整理得16y2+12y9=0设M(x1,y1)
7、，N(x2,y2)，则y1+y2=34，y1y2=916，所以直线PM与直线PN的斜率的和为y132x11+y232x21=y1322y1+y2322y2=134y1+y2y1y2=018【答案】（1）解：记“甲获得第四名”为事件A，则P(A)=(10.6)2=0.16；记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2,3,4，连败两局：P(X=2)=(10.6)2=0.16，X=3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；P(X=3)=0.62+(10.6)0.6(10.6)+0.6(10.6)(10.6)=0.552，P(X=4)=(10.6)0.6
8、0.6+0.6(10.6)0.6=0.288；故X的分布列如下：X234P0.160.5520.288故数学期望E(X)=20.16+30.552+40.288=3.128；（2）解：“双败淘汰制”下，甲获胜的概率P=p3+p(1p)p2+(1p)p3=(32p)p3，在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2，由(32p)p3p2=p2(3p2p21)=p2(2p1)(1p)，且0pp2，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；p(0,12)时，(32p)p3x2，则|f(x1)f(x2)x1x2|g(x1)g(x2)x1x2|恒成立，由（1）得|f(x)|g(x)|，x(1,2)，于是lnx+1|xb|，即1lnxbxlnx+1，因此xlnx1bx+lnx+1，令(x)=xlnx1(1x0，函数(x)在(1,2)上单调递增，则0(x)1ln2，而函数y=x+lnx+1在(1,2)上单调递增，其值域为(2,3+ln2)，则1ln2b2，所以实数b的取值范围是1ln2b2（3）证明：令函数(x)=x1p，xn1,n，显然函数(x)在(n1,n)上可导，由（1），存在c(n
