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1、北京市石景山区2023届高三数学一模试卷一、单选题1已知集合A=x|2x2，B=x|x2+x20，则AB=（）A2，2B2，1C0，1D0，22在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，1)，则zi=（）A12iB2iC1+2iD2i3已知双曲线x24y2b2=1(b0)的离心率是2，则b=（）A12B23C3D324下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）Af(x)=sinxBf(x)=2|x|Cf(x)=x3+xDf(x)=12(exex)5设x0，y0，则“x+y=2”是“xy1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知数列an满足：对任
2、意的m，nN，都有aman=am+n，且a2=3，则a10=（）A34B35C36D3107若函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，0a，若a=0，则f(x)的最大值为 ；若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是 .15项数为k(kN，k2)的有限数列an的各项均不小于1的整数，满足a12k1+a22k2+a32k3+ak12+ak=0，其中a10.给出下列四个结论：若k=2，则a2=2；若k=3，则满足条件的数列an有4个；存在a1=1的数列an；所有满足条件的数列an中，首项相同.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题16如图，在ABC中，AC=42，C=6，点D在边BC上，cosAD
3、B=13.（1）求AD的长；（2）若ABD的面积为22，求AB的长.17某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量（单位：厘米）(4，7(7，10(10，13(13，16第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.（1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(7，10厘
4、米的概率；（2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为(7，10厘米，求X的分布列和数学期望EX；（3）用“k=1”表示第k组鸡冠花的株高增量为(4，10，“k=0”表示第k组鸡冠花的株高增量为(10，16厘米，k=1，2，3，直接写出方差D1，D2，D3的大小关系.（结论不要求证明）18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且PAD=2，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E.（1）求证：EF/AD；（2）从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE
5、所成锐二面角的大小. 条件：AE=2；条件：平面PAD平面ABCD；条件：PBFD.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0，3)，且离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）过点P(1，1)且互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点及S，T两点.求|PM|PN|PS|PT|的取值范围.20已知函数f(x)=ex1msinx(mR).（1）当m=1时，（）求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；（）求证：x(0，2)，f(x)0.（2）若f(x)在(0，2)上
6、恰有一个极值点，求m的取值范围.21若无穷数列an满足以下两个条件，则称该数列为数列.a1=1，当n2时，|an2|=|an1+2|；若存在某一项am5，则存在k1，2，m1，使得ak=am+4（m2且mN）.（1）若a20，判断数列是否为等差数列，请说明理由；（3）在所有的数列中，求满足am=2021的m的最小值.答案解析部分1【答案】A2【答案】C3【答案】B4【答案】D5【答案】A6【答案】B7【答案】A8【答案】D9【答案】B10【答案】C11【答案】1212【答案】(0，1)；313【答案】3（只要是3正整数倍即可）14【答案】2；(，2)15【答案】16【答案】（1）解：因为ADB
7、+ADC=，所以cosADC=cosADB=13在ADC中，因为ADC(0，)所以sinADC=1cos2ADC=223在ABD中，由正弦定理得，ADsinC=ACsinADC所以AD=ACsinCsinADC=4212223=3；（2）解：ABD的面积为22，得12DBDAsinADB=22因为ADB+ADC=，所以sinADC=sinADB=223又因为AD=3，所以BD=2在ABD中，由余弦定理得AB2=DA2+DB22DADBcosADB=32+2223213=9所以AB=3.17【答案】（1）解：设事件A为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(7，10厘米”，根据题中数据，
8、第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(7，10厘米，所以P(A)估计为2040=12；（2）解：设事件B为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(7，10厘米”，设事件C为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(7，10厘米”，根据题中数据，P(B)估计为1640=25， P(C)估计为1240=310，根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.3，且P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(112)(125)(1310)=21100；P(X=1)=P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
9、=1125；P(X=2)=P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=29100；P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=350，则X的分布列为：X0123P21100112529100350所以EX=021100+11125+229100+3350=65.（3）解：D1D3D2理由如下：P(1=1)=2940，P(1=0)=1140，所以E1=12940+01140=2940，D1=(12940)22940+(02940)21140=3191600；P(2=1)=2040=12，P(2=0)=12，所以E2=112
10、+012=12，D2=(112)212+(012)212=14=4001600；P(3=1)=2540=58，P(3=0)=38，所以E3=158+035=58，D3=(158)258+(058)238=1564=3751600；所以D1D3D2.18【答案】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AD/BC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD/平面PBC，又因为平面ADF与PB交于点E.AD平面ADFE，平面PBC平面ADFE=EF，所以EF/AD.（2）解：选条件侧面PAD为等腰直角三角形，且PAD=2，即PA=AD=2，PAAD平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD
11、，PA平面PAD，则PA平面ABCD，又ABCD为正方形，所以PAAB，PAAD，ABAD.以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)因为AE=2，所以点E为PB的中点，则E(1，0，1)从而：PC=(2，2，2)，AD=(0，2，0)，AE=(1，0，1)，设平面ADFE的法向量为：n=(x，y，z)，则nAE=x+z=0nAD=2y=0，令x=1，可得n=(1，0，1)设平面PCD的法向量为：n=(a，b，c)，则nPD=2b2c=0nPC=2a+2b2c=0，令b=1，可得n=(0，1，1)所以|cosPB，n|=|PBn|PB|n|=12则两平面所成的锐二面角为3选条件侧面PAD为等腰直角三角形，且PAD=2，即PA=AD=2，PAADADAB，PAAB=A，且两直线在平面内，可得AD平面PAB，PB平面PAB，则ADPB.又因为PBFD，ADFD=D，且两直线在平面内，则PB平面ADFE，AE平面ADFE，则PBAE因为PA=AB，所以PAB为等腰三角
