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1、直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率、准线)解决相关问题；3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题【知识网络】抛物线抛物线的定义与标准方程抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系抛物线的综合问题抛物线的弦问题抛物线的准线【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”:一个动点,一定点F(即焦点)，一定直线
2、（即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与定直线的距离之比）.要点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：,，图像方程y=2px(p0）y=px(p0)x22py（p）2-2p()焦点准线要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p的值.要点三、抛物线的几何性质范围：,，抛物线y=2x(p0)在y轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点的坐标（x,y)的横坐标满足不等式x；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线
3、向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性:关于x轴对称抛物线y22x（p0）关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线=px(0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0,0)。离心率：.抛物线y2x(p0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率。用e 表示,e=1。抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。要点三、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y=px（p0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程,其判别
4、式为.若,直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 0直线和抛物线相交,有两个交点;0直线和抛物线相切，有一个公共点；),则在抛物线上，m=,p，方程为或【变式2】已知定点F(0,2)，若动点M(，y)满足|M|=y,则点M的轨迹方程为_【答案】由已知得点M到点F的距离等于点M到直线y2的距离，故点M的轨迹方程为x2=8y类型二：直线与抛物线的位置关系例.过定点(,2)作直线l，使l与抛物线y24x有且只有一个公共点，这样的直线共有_条【答案】【解析】如图,过点P与抛物线y2=4仅有一个公共点的直线有三条:二条切线、一条与x轴平行的直线【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时
5、要考虑相交于一点的情况，不要漏掉.举一反三：【变式】已知F是抛物线y2x的焦点，,B是该抛物线上的两点,|F|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为_【答案】|A|+F|=xB=3,xA+.线段A的中点到轴的距离为.类型三：抛物线的弦例3.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4的焦点，与抛物线相交于点、B，求线段A、的长.【解析】如图-31,2=4x的焦点为F（,0)，则l的方程为y=1.由消去y得x2-6x+0设 (x,1）,（x2,y） 则x+x6.又A、两点到准线的距离为，,则【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。举一反三:【变式】顶点在原点,焦
6、点在x轴的抛物线截直线y-2x1所得的弦长|AB|,求抛物线的方程【答案】y=2x或y2=-12x.例.若直线：x2交抛物线y2=8x于A、B两点，且A的中点为M(2，y0），求y0及弦的长【解析】把kx代入y28x，得k2x（4k+8)x+40.设A(x1，y1）,B(2，y2)A中点M（2，y）,xx4,即=,解得k2或k-1.又16k264k+64-1k2，k-1，k2，此时直线方程为y2，（2，y)在直线上,0，A|.【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.举一反三：【变式】过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线
7、于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为，则|B|等于_.【答案】8【解析】抛物线的准线方程为x=1，则AB中点到准线的距离为3(-1)=4由抛物线的定义得AB=8.类型四:抛物线的综合问题例过抛物线2=2p（p0）的焦点F的直线与抛物线相交于P（x1，y）、Q(x，2）两点，求证:; 【解析】证明：由抛物线的方程可得焦点的坐标为。(1)当直线PQ斜率存在时,过焦点的直线方程可设为,由消去x得:ky2pykp2=0 (）当=0时,方程（）只有一解,k，由韦达定理得：y1y2=-2。当直线PQ斜率不存在时,得两交点坐标为,，12=2。综上两种情况：总有y12。【总结升华】韦达定理在解决抛物线综合问
8、题中有着非常重要的作用,注意它的合理应用.举一反三:【变式1】定长为3的线段B的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标【答案】如图,设(x,y), (x2,2)，M（x,y), 则x=， y=,又设点A,B,M在准线:=4上的射影分别为/,B，/, M/与y轴的交点为N,则|A|=|A/|=1+,|BF|=BB/x+,x=（x1+x)=(A|+|BF|)(|AB|)=等号在直线A过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=（x）由得16k2x8(k2+2）x+k2=0依题意|A|=|x1x2=3,2=1/, 此时（x1+x2)= 即M(,),N(,)【变式2】已知点是抛物线y2x上的动点,点到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M,点A(,)，则|PA|PM|的最小值是( ）A. B.4 C. D5【答案】 C【解析】设抛物线22的焦点为F，则(，0),又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为-，则P，又|PA+d|+|PF|F|,所以A|PM|.故选.
