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1、北京四中撰稿：安东明编审：安东明责编：辛文升本周重点：圆锥曲线的定义及应用本周难点：圆锥曲线的综合应用本周内容：一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即：PIIPFl+IPF2l=2a,(2aIFF2l)。2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线卩PIIIPFI-IPF2II=2a,(2aIFF2I)。3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。二、圆锥曲线的方程。T1.椭圆：氏+=1(ab0)或+=1(a
2、b0)(其中，a2=b2+c2)2. 双曲线：-=1(a0,b0)或-=1(a0,b0)(其中，c2=a2+b2)3. 抛物线：y2=2px(p0),X2=2py(p0)三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1(ab0)(1) 范围：|x|Sa,|y|Sb(2) 顶点：(土a,0),(0,b)(3) 焦点：(土c,0)(4) 离心率：e=丘(0,1)(5) 准线：x=2.双曲线：-=1(a0,b0)(1) 范围：|x|Na,yWR(2) 顶点：(土a,0)(3) 焦点：(土c,0)c(4) 离心率：e=圧w(i,+g)(5)准线：x=(6)渐近线：y=x3抛物线：y2=2px(p0)(1) 范围：x
3、0,yGR(2) 顶点：(0,0)(3) 焦点：(,0)(4) 离心率：e=1(5) 准线：x=-四、例题选讲：例1椭圆短轴长为2,长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是解：由题：2b=2,b=1,a=2,c=，则椭圆中心到准线的距离：=。注意：椭圆本身的性质(如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等)不受椭圆的位置的影响。例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=。解：(1)椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2=m=8。(2)椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2=m=2。注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不
4、可凭主观丢掉一解。例3如图：椭圆+=1(ab0)，F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点,PF丄x轴，且PO/AB，求椭圆的离心率e。解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：IPFl+IPF2l=2a,/PF丄x轴，IPFF+IFzglPFzb,SP(IPF2l+IPFl)(IPF2l-IPFl)=4c2,IFFqIHPFiA加12c3|吧|-|叭=兰_L口IPFI=。PO/AB,.PFOsABOA, =c=ba=c,e=。又解，PF丄x轴，设P(-c,y)。由第二定义：=eIPFl=e(x0+)=(-c+)=,由上解中PFOsABOA，得到b=ce=。例4已知F,F2为椭圆+=1的焦点
5、，P为椭圆上一点，且ZFPF2=，求AFPF2的面积。分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。解法一：SA=lPFllPF2lsinlPFl+lPF2l=2a=20,4x36=4c2=IFF2I2=IPF|2+IPF2I2-2IPFIIPF2Icos，SP(lPFl+lPF2l)2-3lPFllPF2l=4x36，ipfjipf2i= SA=XX=。解法二：SA=lFF2llypl=xl2xyp=6lypl,由第二定义：=elPFl=a+exp=10+xp,3由第一定义：IPF2l=2a-IPFil=loVxp,4c
6、2=IFF2l2=(10+xp)2+(10-xp)2-2(10+xp)(10-xp)cos,144=100+=,=64(1-)=64x,SA=6IypI=6x=。注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。例5椭圆+=1的焦点为F1和F2，点p在椭圆上，若线段PF的中点在y轴上，求:IPFJ,IPF2I。分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于IPF1I，IPF21的表达式写出来，再求解。解：如图，TO为F1F2中点，PF1中点在y轴上，.PF2/y轴，.PF2丄x轴，由第一定义：IPFI+IPF2I=2a=4，IPF1I2-IPF2I2=
7、IF1F2I2，(IPF1I-IPF2I)(IPF1I+IPF2I)=4x9=36，例6椭圆：+=1内一点A(2，2)，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求IPAI+IPF1I的最值。解：IPAI+IPF1I=IPAI+2a-IPF2I=10+IPAI-IPF2|S|AF2I+10=2+10，IPAI+IPFI=IPAI+10-IPF2I=10-(IPF2I-|PA|)N10-IAF2I=10-2。注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。例7已知：P为双曲线-=1(a0,b0)上一点，F,F2为焦点，A,A2为其顶点。求证：以PF为直径的圆与以A”A2为直径的圆
8、相切。证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF中点为O,AA2中点为O,IOOZI=IPF2I,圆O半径为IAA2I,圆O,半径为IPFI由双曲线定义：IPFI-IPF2l=IAA2lIPFI-iaa2i=IPF2I=IOOI两个圆相内切。注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。例8已知:过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。证明：由定义知，如图：IPPI=IPFI,IQQzI=IQFIIPQI=IPPI+IQQI,IPQI=(IPPI+IQQI),故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。五、课后练习1. 椭圆+=上一点P
9、与椭圆两焦点连线互相垂直，则apff2的面积为()A、20B、22C、28D、242. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=()A、-B、C、-2D、23. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是()A、y2=16x或x2=16yB、y2=16x或x2=-16yC、x2=-12y或y2=16xD、x2=16y或y2=-12xX4.已知：椭圆/+=l(ab0)上两点P、Q,O为原点，OP丄OQ,求证：+为定值。六、练习答案：1.D2.B3.C4.设玖|OP|cosa,|OP|sina),Q(|OQ|cos(a+90),|OQ|sin(a+90。)，利用两点距离公式及三角公工式,+=。
